PROFMAT 2023 – Questão 14 | Geometria e Pitágoras
Considere um triângulo retângulo de perímetro 30 e hipotenusa de medida 13. Sendo \(b\) e \(c\) as medidas dos catetos, o valor absoluto \( |b – c| \) é igual a:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Resposta correta: (D) 7
O perímetro do triângulo é: \[ p = 13 + b + c = 30 \implies b + c = 17 \] Pela relação pitagórica: \[ b^2 + c^2 = 13^2 = 169 \] Substituímos \( c = 17-b \): \[ b^2 + (17-b)^2 = 169 \] \[ b^2 + 289 – 34b + b^2 = 169 \] \[ 2b^2 – 34b + 120 = 0 \] \[ b^2 – 17b + 60 = 0 \]
Resolvendo a equação: \[ b = 5 \quad \text{ou} \quad b = 12 \] Logo: \[ |b-c| = |12-5| = 7 \]
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