Espaços Amostrais Equiprováveis — quando usar e como calcular

1) O que são Espaços Amostrais Equiprováveis?

Um espaço amostral \( \Omega \) é equiprovável quando todos os seus resultados elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer. Nessa situação, a probabilidade clássica se aplica diretamente:

Fórmula (casos igualmente prováveis)

\( P(A) \;=\; \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \)

Onde \(n(A)\) é o número de casos favoráveis e \(n(\Omega)\) o número de casos possíveis.

Quando não usar a fórmula acima?

Se os resultados não forem igualmente prováveis (por exemplo: urna “viciada”, dado não equilibrado, amostras com pesos), então a contagem simples não vale. Nesses casos, use frequência relativa, a definição axiomática, ou modele as probabilidades de cada resultado.

2) Exemplos Clássicos

Exemplo 1 (moeda honesta). Lance uma moeda honesta. Qual a probabilidade de sair cara?

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\(\Omega=\{\text{C},\text{R}\}\) com resultados equiprováveis; \(A=\{\text{C}\}\).

\(P(A)=\dfrac{1}{2}=0{,}5\; (50\%)\).

Exemplo 2 (dado honesto). Lança-se um dado. Qual a probabilidade de sair número par?

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\(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{2,4,6\}\).

\(P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\).

Exemplo 3 (baralho comum). Retira-se uma carta de 52. Qual a probabilidade de vir uma carta de copas?

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Os 52 resultados são equiprováveis; há 13 cartas de copas.

\(P(\text{copas})=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\) (25%).

3) Contagem e Produto Cartesiano

Em muitos problemas, o espaço amostral equiprovável é construído como produto de escolhas independentes. Ex.: dois dados honestos \(\Rightarrow |\Omega|=6\cdot 6=36\).

Exemplo: dois dados

Probabilidade da soma ser 9.

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\(|\Omega|=36\). Casos com soma 9: \((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\) \(\Rightarrow 4\) casos.

\(P=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}111\) (11,1%).

Dica: combine com união, interseção e complemento para resolver perguntas mais complexas.

4) Exercícios Resolvidos

Exercício 1. Em um dado honesto, qual a probabilidade de sair número múltiplo de 3?

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\(A=\{3,6\}\), \(|A|=2\), \(|\Omega|=6\).

\(P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\).

Exercício 2. Retirando uma carta ao acaso (baralho comum, sem curingas), qual a probabilidade de sair uma figura (J, Q, K, não inclui Ás)?

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Há \(3\) figuras por naipe, \(4\) naipes \(\Rightarrow 12\) figuras no total.

\(P=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}\approx 0{,}2308\) (23,08%).

5) Lista Objetiva (A–E)

Marque a alternativa correta. Clique para ver a solução.

Questão 1. Um dado honesto é lançado. \(P(\text{número } \ge 5)\) é:

A) \( \dfrac{1}{6} \)
B) \( \dfrac{1}{3} \)
C) \( \dfrac{1}{2} \)
D) \( \dfrac{2}{3} \)
E) \( \dfrac{5}{6} \)

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Favoráveis: \(\{5,6\}\) (2). \(P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Gabarito: B.

Questão 2. Em 52 cartas, \(P(\text{ás})\) é:

A) \( \dfrac{1}{26} \)
B) \( \dfrac{1}{13} \)
C) \( \dfrac{1}{4} \)
D) \( \dfrac{4}{13} \)
E) \( \dfrac{1}{52} \)

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Há 4 ases. \(P=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\). Gabarito: B.

Questão 3. Dois dados honestos. \(P(\text{soma}=7)\) é:

A) \( \dfrac{1}{36} \)
B) \( \dfrac{1}{12} \)
C) \( \dfrac{1}{9} \)
D) \( \dfrac{1}{6} \)
E) \( \dfrac{5}{36} \)

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Pares que somam 7: \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) → 6 casos. \(P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\). Gabarito: D.

Questão 4. Uma urna tem 5 bolas azuis e 5 vermelhas, indistinguíveis ao tato. \(P(\text{azul})\) é:

A) \( \dfrac{1}{4} \)
B) \( \dfrac{2}{5} \)
C) \( \dfrac{1}{2} \)
D) \( \dfrac{3}{5} \)
E) \( \dfrac{2}{3} \)

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Equiprovável e simétrica: \(P=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\). Gabarito: C.

Questão 5. Em dois dados honestos, \(P(\text{soma} \ge 11)\) é:

A) \( \dfrac{1}{9} \)
B) \( \dfrac{1}{12} \)
C) \( \dfrac{5}{36} \)
D) \( \dfrac{1}{4} \)
E) \( \dfrac{2}{9} \)

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Somas 11 e 12 → \((5,6),(6,5),(6,6)\) ⇒ 3 casos. \(P=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\). Gabarito: B.

Gabarito

Q1: B Q2: B Q3: D Q4: C Q5: B

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Conclusão

Em espaços amostrais equiprováveis, calcular probabilidades é contar casos: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\). Combine essa ideia com união, interseção e complemento para problemas mais ricos e relacione com a frequência relativa quando trabalhar com dados observados. Explore também a base conceitual em Probabilidade e Evento na Probabilidade.