Teorema da Multiplicação e Teorema da Probabilidade Total
Domine a regra do produto para cadeias de eventos e a probabilidade total via partições. Exemplos práticos e exercícios com solução.
1) Teorema da Multiplicação (Regra do Produto)
Enunciado
\( P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B) = P(B\mid A)\,P(A), \quad \text{com } P(B)>0,\,P(A)>0. \)
Para uma cadeia de três eventos \(A,B,C\):
\( P(A\cap B\cap C) = P(A\mid B\cap C)\,P(B\mid C)\,P(C). \)
Exemplo 1 (sem reposição). Uma urna tem 5 vermelhas e 3 azuis. Retiram-se 2 bolas sem reposição.
Qual \(P(\text{1ª vermelha e 2ª azul})\)?
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\(P(V_1 \cap A_2)=P(V_1)\,P(A_2\mid V_1)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{56}\approx 0{,}2679.\)
Exemplo 2 (três etapas). Uma senha de 3 dígitos é escolhida aleatoriamente, cada dígito de 0 a 9 (com reposição). Qual \(P(\text{todos os três dígitos pares})\)?
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Dígitos pares: 0, 2, 4, 6, 8 → \(5\) opções em \(10\). Independentes:
\(P=(5/10)^3=(1/2)^3=1/8=0{,}125\) (12,5%).
2) Teorema da Probabilidade Total
Enunciado
Se \(B_1,\ldots,B_n\) é uma partição do espaço (\(B_i\cap B_j=\varnothing\) e \(\cup_i B_i=\Omega\)), então:
\( P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i). \)
Exemplo 3 (centros de produção). Uma fábrica tem duas linhas: \(L_1\) (60%) e \(L_2\) (40%). A taxa de defeito é
\(P(D\mid L_1)=3\%\) e \(P(D\mid L_2)=6\%\). Qual \(P(D)\)?
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\(P(D)=0{,}03\cdot 0{,}60 + 0{,}06\cdot 0{,}40 = 0{,}018 + 0{,}024 = 0{,}042\) (4,2%).
Exemplo 4 (teste diagnóstico). Prevalência \(P(D)=2\%\). Sensibilidade \(P(+\mid D)=95\%\). Falso positivo \(P(+\mid \overline{D})=1\%\). Qual \(P(+)\)?
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Partição: \(B_1=D\), \(B_2=\overline{D}\).
\(P(+)=P(+\mid D)P(D) + P(+\mid \overline{D})P(\overline{D}) = 0{,}95\cdot 0{,}02 + 0{,}01\cdot 0{,}98 = 0{,}0288.\)
3) Conexões Importantes
Relação com Probabilidade Condicional e Bayes
O teorema da multiplicação deriva diretamente da probabilidade condicional. O teorema da probabilidade total é a base para o Teorema de Bayes:
\( \displaystyle P(B_k\mid A)=\frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_i P(A\mid B_i)\,P(B_i)}. \)
4) Exercícios Resolvidos
Exercício 1. Um saco tem 6 bolas brancas e 4 pretas. Duas retiradas sem reposição. Calcule \(P(\text{2ª branca} \mid \text{1ª preta})\) e \(P(\text{ambas brancas})\).
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Após sair uma preta, ficam 6 brancas em 9 bolas:
\(P(\text{2ª B}\mid \text{1ª P})=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.\)
Para as duas brancas:
\(P(B_1\cap B_2)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333.\)
Exercício 2. Em uma cidade, \(40\%\) usam app A, \(30\%\) app B e \(10\%\) usam ambos. Dado que a pessoa usa B, qual \(P(\text{usar A})\)? E qual \(P(\text{usar A ou B})\)?
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\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}10}{0{,}30}=1/3\approx 0{,}333.\)
Inclusão–exclusão:
\(P(A\cup B)=0{,}40+0{,}30-0{,}10=0{,}60.\)
5) Lista de Exercícios (A–E)
Questão 1 (produto). Um baralho comum (52 cartas). Qual \(P(\text{1ª copas e 2ª copas, sem reposição})\)?
- A) \( \dfrac{1}{16} \)
- B) \( \dfrac{1}{17} \)
- C) \( \dfrac{1}{20} \)
- D) \( \dfrac{4}{51} \)
- E) \( \dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51} \)
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Produto: \(\dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{12}{51}=\dfrac{12}{204}=\dfrac{1}{17}.\)
Gabarito: B.
Questão 2 (produto). Quatro lançamentos independentes de uma moeda honesta. \(P(\text{exatamente 3 caras})\) é:
- A) \( \dfrac{1}{8} \)
- B) \( \dfrac{1}{4} \)
- C) \( \dfrac{1}{2} \)
- D) \( \dfrac{1}{16} \)
- E) \( \dfrac{3}{16} \)
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Binomial: \(\binom{4}{3}(1/2)^4=4/16=1/4\). Gabarito: B.
Questão 3 (prob. total). Clínica com dois laboratórios: \(L_1\) (70%) e \(L_2\) (30%). Positivo: \(P(+\mid L_1)=0{,}08\), \(P(+\mid L_2)=0{,}12\). Qual \(P(+)\)?
- A) 0,080
- B) 0,090
- C) 0,092
- D) 0,100
- E) 0,120
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\(P(+)=0{,}08\cdot 0{,}70 + 0{,}12\cdot 0{,}30 = 0{,}056+0{,}036=0{,}092\). Gabarito: C.
Questão 4 (cadeia). Uma urna tem 3 verdes e 2 amarelas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Qual \(P(\text{todas verdes})\)?
- A) \( \dfrac{1}{10} \)
- B) \( \dfrac{1}{20} \)
- C) \( \dfrac{3}{10} \)
- D) \( \dfrac{1}{5} \)
- E) \( \dfrac{1}{\binom{5}{3}} \)
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Combinação/hipergeométrica: \(\dfrac{\binom{3}{3}\binom{2}{0}}{\binom{5}{3}}=\dfrac{1}{10}\).
Produto equivalente: \(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{10}\). Gabarito: A.
Questão 5 (prob. total). 30% dos clientes são premium (\(P\)), 70% não premium (\(\overline{P}\)). Taxa de compra: \(P(C\mid P)=0{,}5\), \(P(C\mid \overline{P})=0{,}2\). Qual \(P(C)\)?
- A) 0,20
- B) 0,29
- C) 0,30
- D) 0,35
- E) 0,50
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\(P(C)=0{,}5\cdot 0{,}3 + 0{,}2\cdot 0{,}7=0{,}15+0{,}14=0{,}29\). Gabarito: B.
Gabarito
1) B 2) B 3) C 4) A 5) B
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Conclusão
O teorema da multiplicação permite encadear probabilidades condicionais para eventos sucessivos; já o teorema da probabilidade total reagrupa casos através de uma partição do espaço. Revise os fundamentos em Probabilidade, a Probabilidade Condicional, identifique quando o espaço é equiprovável e use união/interseção/complemento para modelar corretamente os eventos.
