Combinação de Eventos — União, Interseção e Complemento
Veja como combinar eventos em probabilidade usando união, interseção e complemento, incluindo a fórmula da inclusão–exclusão, exemplos práticos e exercícios.
1) Conceitos Básicos
União de eventos — \(A \cup B\)
Ocorre quando acontece pelo menos um dos eventos \(A\) ou \(B\).
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) (inclusão–exclusão)
Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos (disjuntos), então \(P(A \cap B)=0\) e \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).
Interseção de eventos — \(A \cap B\)
Ocorre quando acontecem simultaneamente \(A\) e \(B\).
\( P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = P(B \mid A)\,P(A) \)
Se \(A\) e \(B\) forem independentes, então \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B)\).
Complemento de um evento — \(A^c\)
Conjunto de resultados em que A não ocorre. Também é chamado de evento complementar.
\( P(A^c) = 1 – P(A) \)
Identidades úteis
- \( (A^c)^c = A \), \( \Omega^c = \varnothing \).
- Leis de De Morgan: \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \) e \( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \).
- Para três eventos: \(P(A\cup B\cup C)=\sum P – \sum P(\cap) + P(A\cap B\cap C)\).
2) Exemplos Resolvidos
Exemplo 1. Em uma turma, \(40\%\) praticam futebol (evento \(F\)), \(30\%\) praticam
basquete (evento \(B\)) e \(12\%\) praticam ambos. Qual a probabilidade de um aluno praticar
pelo menos um dos esportes?
Ver solução
Pela inclusão–exclusão:
\(P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\)
Logo, \(58\%\).
Exemplo 2. Lançam-se dois dados justos. Calcule \(P(\text{soma par e > 7})\).
Ver solução
Defina \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\).
\(|\Omega|=36\).
\(A:\) 18 resultados (metade é par).
\(B:\) somas \(8,9,10,11,12\) → \(5+4+3+2+1=15\) resultados.
\(A\cap B:\) somas pares e >7 → \(8,10,12\) com \(5+3+1=9\) resultados.
\(P(A\cap B)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\).
Como a pergunta já é a interseção, a resposta é \(25\%\).
Exemplo 3. Em um concurso, a probabilidade de um candidato acertar uma questão é \(0{,}7\).
Qual a probabilidade de errar?
Ver solução
Complemento:
\(P(\text{erro})=1-0{,}7=0{,}3\) (30%).
3) Exercícios (com respostas)
Exercício 1. Em uma escola, \(P(M)=0{,}45\) (gostar de Matemática), \(P(F)=0{,}35\) (gostar de Física)
e \(P(M\cap F)=0{,}20\). Qual \(P(M\cup F)\)?
Ver solução
\(P(M\cup F)=0{,}45+0{,}35-0{,}20=0{,}60\) (60%).
Exercício 2. Em 52 cartas, \(A=\{\text{naipe copas}\}\) e \(B=\{\text{cartas de figura}\}\) (J,Q,K de todos os naipes).
Encontre \(P(A\cap B)\).
Ver solução
Em copas há 3 figuras (J♥, Q♥, K♥): \( |A\cap B|=3\).
\(P(A\cap B)=\dfrac{3}{52}\approx 0{,}0577\) (5,77%).
Exercício 3. Em uma pesquisa, \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}3\) e \(P(A\cap B)=0{,}1\). Calcule \(P(A^c\cup B^c)\).
Ver solução
Use De Morgan: \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\).
\(P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)=1-0{,}1=0{,}9\).
Exercício 4. Dois eventos independentes têm \(P(A)=0{,}6\) e \(P(B)=0{,}5\).
Calcule \(P(A\cap B)\) e \(P(A\cup B)\).
Ver solução
\(P(A\cap B)=0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}30\).
\(P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}30=0{,}80\) (80%).
\(P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}30=0{,}80\) (80%).
4) Leis de De Morgan (para eventos)
As Leis de De Morgan relacionam união, interseção e complemento de eventos e são úteis para transformar um problema em outro equivalente — muitas vezes mais simples.
Enunciado (forma conjuntista)
\[(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad\text{e}\qquad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}\]
Em palavras: “não (A ou B)” equivale a “não A e não B”; e “não (A e B)” equivale a “não A ou não B”.
Forma probabilística
Aplicando as leis às probabilidades, obtemos:
\[
P\!\big((A \cup B)^{c}\big) = P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 – P(A \cup B)
\]
\[
P\!\big((A \cap B)^{c}\big) = P(A^{c} \cup B^{c}) = 1 – P(A \cap B)
\]
\[
\text{e} \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B).
\]
Se \(A\) e \(B\) forem independentes, então \(P(A^{c} \cap B^{c}) = P(A^{c})\,P(B^{c}) = (1-P(A))(1-P(B))\).
Exemplo 1. Em uma turma, \(P(F)=0{,}40\) (futebol), \(P(B)=0{,}30\) (basquete) e \(P(F\cap B)=0{,}12\).
Qual a probabilidade de um aluno não praticar nenhum dos dois esportes?
Ver solução
Primeiro, a união:
\(P(F\cup B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\).
Pelo complemento (De Morgan), “nenhum” é \((F\cup B)^c\):
\(P((F\cup B)^c)=1-0{,}58=0{,}42\) (42%).
Exemplo 2. Lançam-se dois dados. Seja \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\).
Calcule \(P\big((A\cup B)^c\big)\) (soma ímpar e \(\le 7\)).
Ver solução
\(|\Omega|=36\). Temos \(P(A)=\tfrac{18}{36}=\tfrac{1}{2}\); \(P(B)=\tfrac{15}{36}=\tfrac{5}{12}\).
\(A\cap B\): somas pares e \(>7\) ⇒ \(8,10,12\) com \(5+3+1=9\) resultados ⇒ \(P(A\cap B)=\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).
\(P(A\cup B)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{12}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{6}{12}+\tfrac{5}{12}-\tfrac{3}{12}=\tfrac{8}{12}=\tfrac{2}{3}\).
Assim, por De Morgan:
\(P\big((A\cup B)^c\big)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}\) (33,3%).
Exercício. Para eventos independentes \(A\) e \(B\) com \(P(A)=0{,}6\) e \(P(B)=0{,}5\),
calcule a probabilidade de nenhum ocorrer.
Ver solução
“Nenhum” é \(A^{c}\cap B^{c}\). Com independência:
\(P(A^{c}\cap B^{c})=(1-0{,}6)(1-0{,}5)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}20\) (20%).
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5) Lista de Exercícios — Combinação de Eventos
Questão 1. Dado \(P(A)=0{,}40\), \(P(B)=0{,}30\) e \(P(A\cap B)=0{,}12\), calcule \(P(A\cup B)\).
- A) 0,52
- B) 0,58
- C) 0,60
- D) 0,70
- E) 0,28
Ver solução
\(P(A\cup B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\). Gabarito: B.
Questão 2. Se \(P(A)=0{,}65\), determine \(P(A^{c})\).
- A) 0,25
- B) 0,30
- C) 0,35
- D) 0,40
- E) 0,45
Ver solução
\(P(A^{c})=1-P(A)=1-0{,}65=0{,}35\). Gabarito: C.
Questão 3. Eventos independentes com \(P(A)=0{,}50\) e \(P(B)=0{,}40\). Calcule \(P(A\cap B)\).
- A) 0,10
- B) 0,20
- C) 0,25
- D) 0,30
- E) 0,90
Ver solução
Independentes: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}20\). Gabarito: B.
Questão 4. Se \(P(A)=0{,}60\), \(P(B)=0{,}50\) e \(P(A\cap B)=0{,}30\), calcule \(P(A\mid B)\).
- A) 0,30
- B) 0,50
- C) 0,60
- D) 0,75
- E) 0,80
Ver solução
\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}30}{0{,}50}=0{,}60\). Gabarito: C.
Questão 5. Em uma turma de 80 alunos, 50 praticam Matemática Olímpica, 35 Física e 20 ambos. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar pelo menos um dos dois?
- A) 75%
- B) 80%
- C) 81,25%
- D) 85%
- E) 90%
Ver solução
\(\dfrac{50+35-20}{80}=\dfrac{65}{80}=0{,}8125=81{,}25\%\). Gabarito: C.
Questão 6. Com os dados de Q1, calcule \(P\big((A\cup B)^{c}\big)\).
- A) 0,32
- B) 0,38
- C) 0,40
- D) 0,42
- E) 0,48
Ver solução
\(P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-0{,}58=0{,}42\). Gabarito: D.
Questão 7. Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos, com \(P(A)=0{,}30\) e \(P(B)=0{,}45\), calcule \(P(A\cap B)\).
- A) 0,00
- B) 0,15
- C) 0,30
- D) 0,45
- E) 0,75
Ver solução
Eventos disjuntos: \(P(A\cap B)=0\). Gabarito: A.
Questão 8. Dois dados honestos são lançados. Seja \(A\) “o 1º dado é par” e \(B\) “a soma é \(\ge 9\)”. Calcule \(P(A\cap B)\).
- A) \( \dfrac{1}{12} \)
- B) \( \dfrac{1}{9} \)
- C) \( \dfrac{1}{6} \)
- D) \( \dfrac{5}{36} \)
- E) \( \dfrac{1}{4} \)
Ver solução
Favoráveis com 1º par:
1º=2 ⇒ nenhum; 1º=4 ⇒ (4,5),(4,6) (2); 1º=6 ⇒ (6,3),(6,4),(6,5),(6,6) (4). Total 6.
\(|\Omega|=36\Rightarrow P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\). Gabarito: C.
Questão 9. Três eventos com \(P(A)=0{,}50\), \(P(B)=0{,}40\), \(P(C)=0{,}30\); \(P(A\cap B)=0{,}20\), \(P(A\cap C)=0{,}15\), \(P(B\cap C)=0{,}10\), \(P(A\cap B\cap C)=0{,}05\). Calcule \(P(A\cup B\cup C)\).
- A) 0,70
- B) 0,75
- C) 0,80
- D) 0,85
- E) 0,90
Ver solução
Inclusão–exclusão (3 eventos):
\(0{,}50+0{,}40+0{,}30-(0{,}20+0{,}15+0{,}10)+0{,}05=0{,}80\). Gabarito: C.
Questão 10. Para eventos independentes \(P(A)=0{,}30\) e \(P(B)=0{,}25\), qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um deles?
- A) 0,425
- B) 0,450
- C) 0,475
- D) 0,500
- E) 0,525
Ver solução
Complemento de “nenhum”: \(1-(1-0{,}30)(1-0{,}25)=1-0{,}70\cdot 0{,}75=1-0{,}525=0{,}475\). Gabarito: C.
Gabarito
1) B 2) C 3) B 4) C 5) C 6) D 7) A 8) C 9) C 10) C
Conclusão
Dominar união, interseção e complemento permite montar probabilidades com segurança e resolver problemas reais. Reforce estudando probabilidade, definição de probabilidade, frequência relativa, eventos e experimentos aleatórios.
