Desigualdade Triangular

A desigualdade triangular dá a condição necessária e suficiente para três segmentos formarem um triângulo: nenhum lado pode ser maior ou igual à soma dos outros dois.

Triângulo com lados a, b, c e marcações de ângulos — Para lados `a`, `b`, `c` > 0 (opostos aos ângulos α, β e γ) vale a desigualdade triangular.

Continue estudando: Tipos de Triângulos · Triângulo Escaleno · Área de Triângulo · Lei do Cosseno · Lei dos Senos.

Enunciado e formas úteis

Forma “soma”

a < b + c b < a + c c < a + b

Forma “compacta”

|b − c| < a < b + c

Condição de existência (necessária e suficiente)

existe triângulo ⇔ (a < b + c ∧ b < a + c ∧ c < a + b) e a, b, c > 0

Casos-limite (triângulo degenerado)

a = b + c ou a = |b − c| ⇒ pontos alinhados (área = 0)

Consequência imediata: com b e c fixos, o terceiro lado deve satisfazer o intervalo |b − c| < a < b + c.

Consequências rápidas

Cada lado é menor que o semiperímetro. De a < b + c resulta 2a < a + b + c = P ⇒ a < P/2 = s (vale também para b e c).
Classificação por ângulos. Com o maior lado c: a² + b² = c² (retângulo), a² + b² > c² (acutângulo) ou a² + b² < c² (obtusângulo).
Cheque antes de tudo. Teste a desigualdade triangular antes de aplicar Lei do Cosseno, Lei dos Senos ou as fórmulas de área.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Verificar se forma triângulo

Os segmentos 5, 7 e 11 cm formam triângulo?

Ver solução

5 + 7 = 12 > 11 5 + 11 = 16 > 7 7 + 11 = 18 > 5 ⇒ Formam triângulo (escaleno).

Exemplo 2 — Intervalo do terceiro lado

Dados b = 8 cm e c = 13 cm, quais valores possíveis para a?

Ver solução

|b − c| < a < b + c |8 − 13| < a < 8 + 13 5 < a < 21 ⇒ a ∈ (5, 21).

Exemplo 3 — Corrigindo um “quase triângulo”

Uma placa deve ser triangular com lados 12, 18 e 30 cm. É possível? Se não, ajuste o maior lado para o menor valor que permita triângulo.

Ver solução

12 + 18 = 30 ⇒ triângulo degenerado (alinhado). Para existir triângulo: c < 12 + 18 = 30. ⇒ Qualquer c < 30 (por exemplo, 29,9 cm).

Exemplo 4 — Perímetro fixo

Num triângulo com perímetro P = 30 cm, prove que a < 15 e encontre a faixa de a se b = 11.

Ver solução

De a < b + c ⇒ 2a < a + b + c = P ⇒ a < 15.Com b = 11: c = 30 − a − b = 19 − aDesigualdade compacta com b e c: |b − c| < a < b + c |11 − (19 − a)| < a < 11 + (19 − a) |a − 8| < a e a < 30 − aDa esquerda: a − 8 < a (sempre) e −(a − 8) < a ⇒ a > 4 Da direita: a < 30 − a ⇒ a < 15Faixa: 4 < a < 15.

Exercícios (múltipla escolha)

Use a forma compacta |b − c| < a < b + c.

(1)

Quais trincas não formam triângulo?

(3, 4, 8)
(7, 10, 16)
(9, 12, 20)
(5, 9, 13)
(8, 15, 22)

Mostrar solução

Falham quando a soma de dois lados é ≤ ao terceiro. (A) 3 + 4 = 7 < 8 ⇒ não forma. As demais satisfazem a desigualdade. Resposta: A.

(2)

Com b = 10 cm e c = 17 cm, o intervalo possível para a é:

a > 7
a < 27
7 < a < 27
10 < a < 17
a > 10

Mostrar solução

|10 − 17| < a < 10 + 17 ⇒ 7 < a < 27. Resposta: C.

(3)

Para a = 11 e b = 13, qual não pode ser c?

Mostrar solução

|11 − 13| < c < 11 + 13 ⇒ 2 < c < 24. Apenas 2 viola. Resposta: A.

(4)

O maior lado mede 18 cm. Para existir triângulo, a soma dos outros dois deve ser:

= 18
≥ 18
> 18
≤ 18
< 18

Mostrar solução

Deve ser estritamente maior: b + c > 18. Resposta: C.

(5)

Se a = 9 e b = 14, a menor e a maior possibilidade para c são, respectivamente:

5 e 23
4 e 24
3 e 25
5 e 24
4 e 23

Mostrar solução

|9 − 14| < c < 9 + 14 ⇒ 5 < c < 23. Reportando os limites: 5 e 23. Resposta: A.

Resumo rápido

Condição

|b − c| < a < b + c (e cíclicas)

Terceiro lado (com `b` e `c` fixos)

a ∈ ( |b − c| , b + c )

Casos-limite

a = b + c ou a = |b − c| ⇒ degenerado (área = 0)

Dica

a, b, c < s = P/2 e sempre teste a desigualdade antes de Heron, senos e cossenos.

Veja também: Lei do Cosseno, Lei dos Senos, Área de Triângulo.

Desigualdade Triangular

Desigualdade Triangular

Enunciado e formas úteis

Forma “soma”

Forma “compacta”

Condição de existência (necessária e suficiente)

Casos-limite (triângulo degenerado)

Consequências rápidas

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Verificar se forma triângulo

Exemplo 2 — Intervalo do terceiro lado

Exemplo 3 — Corrigindo um “quase triângulo”

Exemplo 4 — Perímetro fixo

Exercícios (múltipla escolha)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Resumo rápido

Condição

Terceiro lado (com b e c fixos)

Casos-limite

Dica

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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