Fórmulas do Paralelepípedo — volume, áreas e diagonal

1) O que é paralelepípedo?

É um prisma cujas faces opostas são paralelogramos. No caso mais usado (paralelepípedo retângulo), as 6 faces são retângulos. Elementos: 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. O cubo é um caso particular com \(a=b=c\).

2) Formulário essencial

3) Exemplos resolvidos (contas na vertical)

1. Enunciado. Paralelepípedo retângulo com \(a=12\ \text{cm}\), \(b=7\ \text{cm}\), \(c=4\ \text{cm}\). Calcule o volume e a área total.

   Ver solução

   Volume

   $$\begin{aligned} V&=a\cdot b\cdot c\\ &=12\cdot7\cdot4\\ &=84\cdot4\\ &=\mathbf{336\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

   Área total

   $$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(12\cdot7+12\cdot4+7\cdot4)\\ &=2(84+48+28)\\ &=2\cdot160\\ &=\mathbf{320\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

2. Enunciado. Caixa com base \(30\ \text{cm}\times25\ \text{cm}\) e altura \(0{,}5\ \text{m}\). Calcule o volume em litros.

   Ver solução

   $$\begin{aligned} 0{,}5\ \text{m}&=50\ \text{cm}\\ V&=30\cdot25\cdot50\\ &=750\cdot50\\ &=37\,500\ \text{cm}^3\\ &=\mathbf{37{,}5\ \text{L}} \end{aligned}$$

3. Enunciado. Caixa sem tampa com \(a=0{,}6\ \text{m}\), \(b=0{,}4\ \text{m}\), \(c=0{,}5\ \text{m}\). Calcule a área externa a ser pintada.

   Ver solução

   Área total com tampa

   $$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(0{,}6\cdot0{,}4+0{,}6\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}5)\\ &=2(0{,}24+0{,}30+0{,}20)\\ &=2\cdot0{,}74\\ &=1{,}48\ \text{m}^2 \end{aligned}$$

   Sem tampa (retira-se \(ab\))

   $$\begin{aligned} A_{\text{pintura}}&=A_t-ab\\ &=1{,}48-0{,}24\\ &=\mathbf{1{,}24\ \text{m}^2} \end{aligned}$$

4. Enunciado. Com base \(a\times b=9\ \text{cm}\times5\ \text{cm}\) e altura \(c=12\ \text{cm}\), calcule a área lateral.

   Ver solução

   $$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b)\\ &=2\cdot12\cdot(9+5)\\ &=24\cdot14\\ &=\mathbf{336\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

5. Enunciado. Paralelepípedo retângulo com \(a=6\ \text{cm}\), \(b=8\ \text{cm}\), \(c=24\ \text{cm}\). Calcule a diagonal espacial.

   Ver solução

   $$\begin{aligned} d&=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\ &=\sqrt{6^2+8^2+24^2}\\ &=\sqrt{36+64+576}\\ &=\sqrt{676}\\ &=\mathbf{26\ \text{cm}} \end{aligned}$$

4) Exercícios rápidos (com gabarito em abre/fecha)

1. Um bloco tem \(a=7\ \text{cm}\), \(b=4\ \text{cm}\), \(c=5\ \text{cm}\). Calcule o volume.

   Gabarito

   $$\begin{aligned} V&=7\cdot4\cdot5\\ &=\mathbf{140\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

2. Para \(a=10\ \text{cm}\), \(b=6\ \text{cm}\), \(c=12\ \text{cm}\), calcule a área total.

   Gabarito

   $$\begin{aligned} A_t&=2(10\cdot6+10\cdot12+6\cdot12)\\ &=2(60+120+72)\\ &=\mathbf{504\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

3. Uma base \(30\ \text{cm}\times20\ \text{cm}\) e altura \(50\ \text{cm}\). Calcule a área da faixa lateral (planificação).

   Gabarito

   $$\begin{aligned} P_{\text{base}}&=2(30+20)=100\ \text{cm}\\ A_{\text{faixa}}&=P_{\text{base}}\cdot c=100\cdot50=\mathbf{5000\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

5) Perguntas frequentes

7) Materiais do blog