Hexaedro – o que é, tipos, propriedades, fórmulas e exercícios
Hexaedro é todo poliedro com seis faces. O exemplo mais famoso é o cubo, mas existem muitos outros: cuboide (paralelepípedo retângulo), paralelepípedo oblíquo, prisma quadrangular, bipirâmide triangular e trapezoedro triangular. Aqui você vê as definições, fórmulas e exemplos, além de uma lista de exercícios com gabarito.
- a, b, c — comprimentos das arestas principais (quando aplicável);
- P — perímetro da base; A_b — área da base; h — altura (distância entre planos de bases);
- A_t — área total; V — volume; V (vértices), A (arestas), F (faces).
Propriedades gerais
Para qualquer hexaedro convexo vale a Característica de Euler: \(V – A + F = 2\). Como \(F=6\), segue \(A=V+4\). Em muitos hexaedros “tipo prisma” temos \(V=8\) e \(A=12\); já a bipirâmide triangular tem \(V=5\) e \(A=9\).
Principais tipos de Hexaedro
1) Hexaedro regular – Cubo
Seis faces quadradas congruentes; todos os ângulos retos. É um dos cinco Sólidos de Platão.
\(A_t=6a^2\qquad\) \(V=a^3\qquad\) \(V=8,\ A=12,\ F=6\)
2) Cuboide (Paralelepípedo retângulo)
Seis retângulos; ângulos retos. Dimensões \(a\times b\times c\).
\(A_t=2(ab+bc+ca)\qquad V=abc\qquad V=8,\ A=12,\ F=6\)
3) Paralelepípedo oblíquo
Seis paralelogramos; arestas laterais oblíquas ao plano da base.
\(V=A_b\cdot h\) (com \(h\) a altura perpendicular entre as bases). Área total depende dos paralelogramos laterais.
4) Prisma quadrangular (reta ou oblíqua)
Duas bases quadriláteras congruentes + quatro faces laterais (retângulos ou paralelogramos). Inclui como casos particulares cuboide, prismas de base losango etc.
\(V=A_b\cdot h\qquad A_t=2A_b+A_l\) (com \(A_l\) a soma das áreas das quatro faces laterais).
5) Bipirâmide triangular (dipirâmide)
Dois tetraedros colados pela base; seis faces triangulares. É um hexaedro com cinco vértices.
Se a base é um triângulo de área \(A_b\) e as alturas das duas pirâmides são \(h_1\) e \(h_2\):
\(V=\dfrac{A_b\,h_1}{3}+\dfrac{A_b\,h_2}{3}=\dfrac{A_b(h_1+h_2)}{3}\qquad V=5,\ A=9,\ F=6\)
6) Trapezoedro (deltoedro) triangular
Seis faces em forma de deltoide (kite); aparece como caso \(n=3\) dos trapezoedros de \(2n\) faces.
As fórmulas de área e volume variam com as diagonais de cada deltoide; em geral calcula-se por decomposição em triângulos/prismas.
7) Hexaedros irregulares
Formas com seis faces misturando triângulos e quadriláteros (convexos ou não). Usam-se decomposições e o Teorema de Cavalieri para volumes.
Contagens típicas (convexos)
| Família | Faces | Vértices \(V\) | Arestas \(A\) |
|---|---|---|---|
| Cubo / Cuboide / Paralelepípedo / Prisma quadrangular | 6 | 8 | 12 |
| Bipirâmide triangular | 6 | 5 | 9 |
| Trapezoedro triangular | 6 | 8 | 12 |
Exemplos resolvidos
O cubo tem aresta \(a=7\ \text{cm}\). Calcule a área total e o volume.
\(A_t=6a^2=6\cdot49=294\ \text{cm}^2\). \(\ V=a^3=343\ \text{cm}^3\).
A base é um triângulo equilátero de lado \(s=6\ \text{cm}\). As alturas até os vértices superior e inferior são \(h_1=8\ \text{cm}\) e \(h_2=5\ \text{cm}\). Encontre o volume.
\(A_b=\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\). Logo \(V=\dfrac{A_b(h_1+h_2)}{3}=\dfrac{9\sqrt{3}\cdot13}{3}=39\sqrt{3}\ \text{cm}^3\).
8 exercícios (múltipla escolha) com gabarito
\(6a^2=150\Rightarrow a=5\). \(V=a^3=\mathbf{125\ \text{cm}^3}\).
\(V=abc=\mathbf{60\ \text{cm}^3}\).
Base \(A_b=36\). Lateral \(A_l=P\cdot h=4\cdot6\cdot10=240\). \(A_t=2A_b+A_l=\mathbf{312\ \text{cm}^2}\).
Com \(h_1=h_2\), \(V=\dfrac{A_b(2h_1)}{3}\). Se antes era \(A_b(h_1+h_2)/3\), quando \(h_1=h_2\) o volume é \(\dfrac{2A_bh_1}{3}\), igual ao caso anterior apenas quando \(h_1=h_2=\tfrac{h_1+h_2}{2}\). Em geral, mantém se a soma \(h_1+h_2\) não mudar.
\(V=A_b\cdot h=\mathbf{270\ \text{cm}^3}\).
Deve satisfazer Euler com \(F=6\): \(V-A+6=2\Rightarrow A=V+4\). Ex.: \(V=8\Rightarrow A=12\). Logo \(\mathbf{(8,12,6)}\) é válido.
No cubo, \(d=a\sqrt{3}\Rightarrow a=12/\sqrt{3}=4\sqrt{3}\). \(V=a^3=64\cdot3\sqrt{3}=192\sqrt{3}\ \text{cm}^3\).
Área do losango \(A_b=\dfrac{d_1d_2}{2}=24\). \(V=A_bh=24\cdot11=\mathbf{264\ \text{cm}^3}\).
Quer continuar?
- Veja também: Sólidos de Platão (o cubo é o hexaedro regular).
- Reforce prismas e pirâmides: Pirâmide · Pirâmide regular · Tronco de Pirâmide.
