Fórmula do Volume da Esfera

A esfera é um dos principais corpos redondos: o conjunto dos pontos do espaço à mesma distância do seu centro. Essa distância é o raio \(r\). Para propriedades completas e área da superfície, consulte o artigo Esfera.

Fórmula principal

• \(V\): volume (em unidades cúbicas: cm³, m³, …);
• \(\pi\): constante aproximadamente \(3{,}14159\);
• \(r\): raio da esfera.

Por que essa fórmula? (intuição rápida)

Há várias demonstrações. Uma delas usa o Princípio de Cavalieri: ao comparar, para cada altura, as áreas de cortes de um cilindro com cone interno com as da esfera, mostra-se que os volumes são equivalentes, concluindo \(V_{\text{esfera}}=\tfrac{2}{3}V_{\text{cilindro}}\). Como o cilindro inscrito tem raio \(r\) e altura \(2r\), \(V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2}\cdot 2r=2\pi r^{3}\). Logo, \(V=\tfrac{2}{3}\cdot 2\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\).

Variações úteis da fórmula

• Em função do diâmetro \(d=2r\):
  \( \displaystyle V=\frac{\pi}{6}\,d^{3} \)
• Isolando o raio a partir do volume:
  \( \displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \)
• Escala: se o raio é multiplicado por \(k\), o volume multiplica por \(k^{3}\).

Unidades e conversões

Use sempre unidades cúbicas. Para aplicações práticas, lembre que \(1\,\text{m}^{3}=1000\,\text{L}\).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Calcule o volume de uma esfera de raio \(r=5\text{ cm}\).

Exemplo 2. Uma esfera tem volume \(904{,}32\ \text{cm}^{3}\). Encontre o raio.

Compare com outros sólidos

• Volume do cubo
• Volume do paralelepípedo
• Mais prática: Exercício Esfera

Erros comuns

• Usar o diâmetro no lugar do raio sem dividir por 2.
• Esquecer a potência cúbica \(r^{3}\).
• Responder em unidades quadradas em vez de cúbicas.

Exercícios (múltipla escolha)

1) Uma bolinha de gude tem diâmetro \(1{,}6\ \text{cm}\). O volume aproximado da bolinha é:

• A) \(1{,}37\ \text{cm}^{3}\)
• B) \(2{,}14\ \text{cm}^{3}\)
• C) \(3{,}00\ \text{cm}^{3}\)
• D) \(4{,}19\ \text{cm}^{3}\)

2) O volume de uma esfera é \(288\pi\ \text{cm}^{3}\). Qual é o raio?

• A) \(4\ \text{cm}\)
• B) \(5\ \text{cm}\)
• C) \(6\ \text{cm}\)
• D) \(8\ \text{cm}\)

3) Uma bola oficial tem raio \(12\ \text{cm}\). O volume exato é:

• A) \(1728\pi\ \text{cm}^{3}\)
• B) \(2304\pi\ \text{cm}^{3}\)
• C) \(2592\pi\ \text{cm}^{3}\)
• D) \(3072\pi\ \text{cm}^{3}\)

4) Um reservatório esférico tem raio \(1{,}2\ \text{m}\). Qual é a capacidade em litros (aprox.)?

• A) \(7\,240\ \text{L}\)
• B) \(8\,680\ \text{L}\)
• C) \(9\,050\ \text{L}\)
• D) \(7\,240\ \text{mL}\)

5) Uma esfera maciça de raio \(r\) é alongada para outra com raio \(2r\). O volume é multiplicado por:

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 8

Quer mais prática? Veja: Exercício Esfera. E compare com outros sólidos: Cubo e Paralelepípedo.