Como saber se a parábola abre para cima ou para baixo?

Pelo sinal de a em f(x)=ax^2+bx+c. Se a>0, abre para cima (mínimo). Se a<0, abre para baixo (máximo).

Como achar o vértice rapidamente?

x_v = -b/(2a) e y_v = f(x_v). Também vale y_v = -Δ/(4a), útil para cálculos rápidos.

O que o discriminante diz sobre as raízes?

Δ=b^2-4ac. Se Δ>0, duas raízes reais distintas; se Δ=0, raiz real dupla; se Δ<0, não há raízes reais.

Quando usar cada forma (geral, canônica ou fatorada)?

Geral é universal; canônica facilita extremos e esboço; fatorada é ideal para zeros e estudo do sinal (se houver fatoração real).

Função Quadrática

Q: Como achar o vértice rapidamente?

x_v = -b/(2a) e y_v = f(x_v). Também vale y_v = -Δ/(4a), útil para cálculos rápidos.

Q: O que o discriminante diz sobre as raízes?

Δ=b^2-4ac. Se Δ>0, duas raízes reais distintas; se Δ=0, raiz real dupla; se Δ<0, não há raízes reais.

Q: Quando usar cada forma (geral, canônica ou fatorada)?

Geral é universal; canônica facilita extremos e esboço; fatorada é ideal para zeros e estudo do sinal (se houver fatoração real).

Função Quadrática (Parábola): definição, gráfico, vértice, Bhaskara, inequações, otimização e exercícios

Função Quadrática: tudo sobre a parábola \(f(x)=ax^2+bx+c\)

A função quadrática modela trajetórias, áreas máximas, lucros ótimos e muito mais. Este guia reúne as técnicas essenciais (formas algébricas, sinal, inequações, interseções) com exemplos passo a passo. Para revisar ideias de reta, veja função afim, coeficiente angular e coeficiente linear.

Infográfico com elementos do gráfico de uma função quadrática (parábola): vértice, eixo de simetria, concavidade e interseções.

1) Formas da função

Forma geral

\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\ne0. \]

Forma canônica (do vértice)

\[ f(x)=a(x-x_v)^2+y_v,\qquad \begin{aligned} x_v &= -\frac{b}{2a}\\ y_v &= f(x_v)\\ &= -\frac{\Delta}{4a} \end{aligned} \]

Obtemos por completar quadrados (veja o Exemplo 1 com as contas uma embaixo da outra).

Forma fatorada

\[ f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\quad (\text{quando }x_1,x_2\in\mathbb{R}). \]

Útil para inequações produto e estudo do sinal. Se não houver raízes reais, essa forma não existe em \(\mathbb{R}\).

2) Parâmetros e efeitos

\(a\): concavidade. \(a>0\) (abre para cima, mínimo); \(a<0\) (abre para baixo, máximo). \(|a|\) controla a abertura.
\(b\): desloca o vértice no eixo \(x\) (via \(x_v=-\tfrac{b}{2a}\)).
\(c\): intercepto em \(y\) (ponto \((0,c)\)).

3) Discriminante, raízes e Viète

\[ \begin{aligned} \Delta &= b^2-4ac\\ x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{aligned} \]

\(\Delta>0\): duas raízes reais distintas.
\(\Delta=0\): raiz real dupla (tangência ao eixo \(x\)).
\(\Delta<0\): sem raízes reais.
Viète (se \(x_1,x_2\) reais/complexas): \(x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}\), \(x_1x_2=\tfrac{c}{a}\).

4) Gráfico da parábola

Vértice \((x_v,y_v)\) e eixo de simetria \(x=x_v\).
Interseções: com \(y\) em \((0,c)\); com \(x\) nas raízes (se existirem).
Domínio \(=\mathbb{R}\); imagem \([y_v,\infty)\) se \(a>0\) ou \((-\infty,y_v]\) se \(a<0\).
Monotonia: para \(a>0\), decresce em \((-\infty,x_v]\) e cresce em \([x_v,\infty)\) (inverte se \(a<0\)).

5) Como construir o gráfico (guia rápido)

Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
Marque \((0,c)\) e, se houver, as raízes reais.
Use simetria em torno de \(x=x_v\) para obter pontos pares.
Esboce a concavidade de acordo com o sinal de \(a\).

Reforço: coeficiente angular e coeficiente linear ajudam na leitura de retas ao estudar interseções.

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6) Transformações de \(y=a(x-h)^2+k\)

\(h\): desloca o vértice no eixo \(x\); \(k\): desloca no eixo \(y\).
Sinal de \(a\): reflexão vertical (para baixo quando \(a<0\)).
\(|a|\): abertura (estreita/achatada).

7) Três jeitos de resolver equações quadráticas

Fatoração (quando possível).
Completar quadrados (gera a forma canônica e a fórmula geral).
Bhaskara (universal).

8) Inequações quadráticas

Use estudo do sinal com quadro dos intervalos. Para prática, consulte inequações produto e inequações quociente.

9) Interseções e sistemas

Reta × parábola: substitua \(y=mx+n\) em \(ax^2+bx+c\) → equação do 2º grau; o \(\Delta\) indica 0/1/2 interseções. Dica rápida para \(x^2=mx+k\): \(\Delta=m^2+4k\).
Condição de tangência: \(\Delta=0\).

10) Máximo e mínimo (otimização)

Como \(f(x)=a(x-x_v)^2+y_v\), o extremo está no vértice: mínimo se \(a>0\), máximo se \(a<0\). Aplicações: lucro máximo, área máxima, altura máxima em \(h(t)=at^2+bt+c\).

11) Parâbola na Geometria Analítica (extra)

Definição por foco e diretriz: conjunto dos pontos equidistantes. A forma canônica (após translações) é \(y=\dfrac{1}{4p}x^2\).

12) Análise paramétrica (corrigido)

Fixos \(a\) e \(c\), variando \(b\): os vértices \((x_v,y_v)\) satisfazem \[ \begin{aligned} x_v &= -\frac{b}{2a}\\ y_v &= c - a x_v^2 \end{aligned} \] Logo, o lugar geométrico é a parábola \(y=c-a x^2\) (eixo no eixo \(y\)).
Fixos \(a\) e \(b\), variando \(c\): a parábola sobe/desce; o vértice translada verticalmente (pois \(y_v=-\tfrac{\Delta}{4a}\) depende linearmente de \(c\)).

13) Erros comuns

Confundir o sinal de \(a\) com a posição do vértice.
Esquecer que a imagem depende de \(y_v\) e do sinal de \(a\).
Usar Bhaskara sem checar \(\Delta\) ou ignorar fatorações simples.
Trocar soma/produto de Viète.

14) Exemplos resolvidos (com as contas uma embaixo da outra)

Exemplo 1 — Completar quadrados (forma canônica). Escreva \(f(x)=2x^2-8x+5\) na forma \(a(x-x_v)^2+y_v\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} f(x) &= 2x^2 - 8x + 5\\ &= 2\bigl(x^2 - 4x\bigr) + 5\\ &= 2\Bigl[(x-2)^2 - 4\Bigr] + 5\\ &= 2(x-2)^2 - 8 + 5\\ &= 2(x-2)^2 - 3 \end{aligned} \]

Logo, \(x_v=2\) e \(y_v=-3\).

Exemplo 2 — Raízes e vértice por \(\Delta\). Para \(g(x)=-x^2+6x-8\), encontre as raízes e o vértice.

Ver solução

\[ \begin{aligned} a&=-1,\quad b=6,\quad c=-8\\ \Delta &= b^2 - 4ac\\ &= 6^2 - 4(-1)(-8)\\ &= 36 - 32\\ &= 4\\[6pt] x_{1,2} &= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ &= \frac{-6\pm 2}{-2}\\ &= \{\,2,\ 4\,\}\\[6pt] x_v &= -\frac{b}{2a}\\ &= -\frac{6}{-2}\\ &= 3\\ y_v &= g(3)\\ &= -(3)^2 + 6\cdot 3 - 8\\ &= -9 + 18 - 8\\ &= 1 \end{aligned} \]

Vértice \((3,1)\) (máximo).

Exemplo 3 — Inequação quadrática. Resolva \(x^2-5x+6\le0\).

Ver solução

\[ \begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &\le 0\\ (x-2)(x-3) &\le 0\\ \text{(quadro do sinal)} &\Rightarrow x\in[2,3] \end{aligned} \]

Exemplo 4 — Reta tangente à parábola (corrigido). Existe \(m\) tal que \(y=mx+1\) seja tangente a \(y=x^2\)?

Ver solução

\[ \begin{aligned} x^2 &= mx + 1\\ x^2 - mx - 1 &= 0\\ \Delta &= (-m)^2 - 4(1)(-1)\\ &= m^2 + 4\\ \Delta &= 0 \ \text{(tangência)}\\ &\Rightarrow \text{impossível, pois } m^2+4>0\ \forall m\in\mathbb{R} \end{aligned} \]

Logo, não existe tangência com intercepto \(1\). Condição geral para \(y=mx+k\):

\[ \begin{aligned} x^2 - mx - k &= 0\\ \Delta &= m^2 + 4k\\ \Delta=0 &\Rightarrow k = -\frac{m^2}{4} \end{aligned} \]

Exemplo 5 — Otimização (máximo de área). Um retângulo de perímetro \(40\) tem \(A(x)=x(20-x)\). Qual a área máxima?

Ver solução

\[ \begin{aligned} A(x) &= -x^2 + 20x\\ x_v &= -\frac{b}{2a}\\ &= -\frac{20}{2(-1)}\\ &= 10\\ A_{\max} &= A(10)\\ &= -(10)^2 + 20\cdot 10\\ &= -100 + 200\\ &= 100 \end{aligned} \]

Área máxima \(100\) u², quando \(x=10\) (quadrado \(10\times10\)).

15) Exercícios propostos (com gabarito e contas em coluna)

1) Esboce \(f(x)=x^2-4x+1\). Informe \(x_v\), \(y_v\) e a imagem.

Gabarito

\[ \begin{aligned} x_v &= -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2\\ y_v &= f(2) = (2)^2 - 4\cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \end{aligned} \]

Imagem \([ -3,\infty)\).

2) Resolva \(2x^2-3x-2=0\) por fatoração.

Gabarito

\[ \begin{aligned} 2x^2-3x-2 &= 0\\ (2x+1)(x-2) &= 0\\ x &= -\tfrac{1}{2}\ \ \text{ou}\ \ x=2 \end{aligned} \]

3) Para \(h(x)=-(x-1)^2+9\), calcule o máximo e onde ocorre.

Gabarito

\[ \begin{aligned} \text{Forma canônica} &:\ h(x)=-(x-1)^2+9\\ \text{Vértice} &:\ (1,9)\\ \text{Máximo} &:\ 9\ \text{em}\ x=1 \end{aligned} \]

4) Encontre \(k\) para que \(y=x^2+kx+9\) tenha \(\Delta=0\).

Gabarito

\[ \begin{aligned} \Delta &= k^2 - 4\cdot 1 \cdot 9\\ &= k^2 - 36\\ \Delta=0 &\Rightarrow k^2=36 \Rightarrow k=\pm 6 \end{aligned} \]

5) Resolva \(-x^2+6x-5\ge0\).

Gabarito

\[ \begin{aligned} -x^2+6x-5 &\ge 0\\ -(x^2-6x+5) &\ge 0\\ (x-1)(x-5) &\le 0\\ x &\in [1,5] \end{aligned} \]

16) Materiais de apoio (links internos)

Função afim Função linear Função modular (|x|) Zero da função Sinal da função Inequações do 1º grau Inequações produto Inequações quociente Interseção de retas

17) Ferramentas para estudar (produtos do blog)

18) Resumo (cheatsheet)

\[ \begin{aligned} &\text{Geral: } f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0.\\ &x_v=-\frac{b}{2a},\quad y_v=f(x_v)=-\frac{\Delta}{4a}.\\ &\Delta=b^2-4ac;\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.\\ &\text{Viète: } x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ \ x_1x_2=\frac{c}{a}.\\ &\text{Imagem: } \begin{cases} [y_v,\infty), & a>0\\ (-\infty,y_v], & a<0 \end{cases} \end{aligned} \]

19) Glossário

Parábola: gráfico de uma quadrática. Vértice: ponto de máximo/mínimo. Eixo de simetria: reta vertical pelo vértice. Discriminante: \(\Delta=b^2-4ac\). Raiz dupla: quando \(\Delta=0\).

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.