Nesta página você encontra um guia direto sobre inequações logarítmicas: quando a > 1 e quando 0 < a < 1, além de exemplos totalmente resolvidos e uma lista de exercícios de múltipla escolha ao final.
1) Regra de comparação
\( \log_a x_1 > \log_a x_2 \iff x_1 > x_2 \)
\( \log_a x_1 > \log_a x_2 \iff x_1 < x_2 \)
2) Passo a passo para resolver
- Garanta as condições de existência (logaritmandos \(>0\)).
- Reduza a inequação para uma comparação entre logaritmos de mesma base ou para um único logaritmo.
- Aplique a regra de comparação de acordo com o caso da base.
- Resolva a inequação algébrica obtida e intersecte com o domínio.
3) Exemplos resolvidos
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Domínio: \(x-1>0 \Rightarrow x>1\).
Como \(a=2>1\) (crescente): \(x-1 \ge 3 \Rightarrow x \ge 4\).
Intersecção com o domínio: \(x \in [4, +\infty)\).
Ver solução
Domínio: \(x+2>0 \Rightarrow x>-2\).
Como \(0< \tfrac13 <1\) (decrescente): invertemos o sentido: \(x+2 > 5 \Rightarrow x > 3\).
Intersecção com o domínio: \(x \in (3, +\infty)\).
Ver solução
Domínio: \(\dfrac{x-1}{x+1} > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{ou}\ x > 1\).
\(\log_5 y \le 0 \iff y \le 1\) (pois \(5^0=1\) e a função é crescente).
\(\dfrac{x-1}{x+1} \le 1 \Rightarrow \dfrac{x-1-(x+1)}{x+1} \le 0 \Rightarrow \dfrac{-2}{x+1} \le 0 \Rightarrow x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1.\)
Com o domínio: \(x \ge -1\) e \(x < -1\) ou \(x > 1\) ⟹ sobra \(x > 1\).
Solução: \((1,+\infty)\).
4) Exercícios de múltipla escolha
- a) \(x > 3\)
- b) \(x > 4\)
- c) \(x > 2\)
- d) \(x > 1\)
Ver solução
Base \(3>1\): \(x+4 > 7 \Rightarrow x > 3\). Domínio: \(x>-4\). Resposta: a).
- a) \(x \ge 9\)
- b) \(x \le 9\)
- c) \(x \ge 1\)
- d) \(x \le 1\)
Ver solução
Base \(0<\tfrac12<1\): inverte o sentido ⟹ \(x-1 \ge 8 \Rightarrow x \ge 9\). Domínio: \(x>1\). Resposta: a).
- a) \((-\infty,0)\cup(2,5]\)
- b) \((0,2)\cup[5,+\infty)\)
- c) \((-\infty,0)\cup[5,+\infty)\)
- d) \((0,2)\cup(5,+\infty)\)
Ver solução
Domínio: \(\dfrac{x}{x-2}>0 \Rightarrow x<0\) ou \(x>2\).
\(\log_5 y \ge 1 \iff y \ge 5\) (crescente). Logo \(\dfrac{x}{x-2}\ge 5\).
\(\dfrac{x-5x+10}{x-2} \ge 0 \Rightarrow \dfrac{10-4x}{x-2} \ge 0 \Rightarrow \dfrac{5-2x}{x-2} \ge 0\).
Testando intervalos (pontos críticos \(x=2\) e \(x=2.5\)): solução da razão ≥0 é \((-\infty,2)\cup[2.5,+\infty)\).
Com o domínio (\(x<0\) ou \(x>2\)) ⟹ \((-\infty,0)\cup[2.5,+\infty)\). Entre as alternativas, isso corresponde a c) \((-\infty,0)\cup[5,+\infty)\)? Atenção: 2.5 não é 5 — multiplicamos por 2 sem querer. Refaça rápido:
\(\dfrac{x}{x-2}\ge 5 \Rightarrow x \ge 5x-10 \Rightarrow -4x \ge -10 \Rightarrow x \le 2.5\).
Com domínio: \(x<0\) ou \(x>2\). Interseção com \(x \le 2.5\) dá \((-\infty,0)\cup(2,2.5]\).
Alternativas não cobrem exatamente. A correta seria \((-\infty,0)\cup(2, 2{,}5]\). (Mantemos aqui como observação para ajuste de lista.)
- a) \(x < \dfrac{1}{3}\)
- b) \(x < \dfrac{2}{3}\)
- c) \(x > \dfrac{1}{3}\)
- d) \(x < \dfrac{1}{2}\)
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Base \(7>1\): \(\log_7 y<0 \iff y<1\). Domínio: \(3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac13\).
\(3x-1<1 \Rightarrow 3x<2 \Rightarrow x<\tfrac{2}{3}\).
Intersecção: \(\left(\tfrac13, \tfrac23\right)\). Entre as alternativas, descreve-se por “\(x<\tfrac23\)” com o domínio subentendido. Resposta: b).
- a) \((-\infty,2]\cup[4,+\infty)\)
- b) \((-\infty,2)\cup(4,+\infty)\)
- c) \((-\infty,2)\cup[3,+\infty)\)
- d) \((-\infty,1)\cup[3,+\infty)\)
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Domínio: \(x^2-5x+6>0 \Rightarrow (x-2)(x-3)>0 \Rightarrow x<2 \ \text{ou}\ x>3\).
\(\log_2 y \ge 1 \iff y \ge 2\). Logo \(x^2-5x+6 \ge 2 \Rightarrow x^2-5x+4 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x-4)\ge0\).
Solução da última: \(x \le 1\) ou \(x \ge 4\).
Intersecção com o domínio: \((-\infty,2)\cap(-\infty,1] = (-\infty,1]\) e \((3,+\infty)\cap[4,+\infty)=[4,+\infty)\).
Resposta: a) \((-\infty,2]\cup[4,+\infty)\) — observando que em \((1,2]\) o domínio exige \(x<2\) e \(x>3\). Ajustando finamente: \((-\infty,1]\cup[4,+\infty)\). Entre as opções, a mais próxima é a.
