Vértice da Parábola — Fórmulas, Coordenadas e Significado
O vértice da parábola resume o comportamento da função do segundo grau: indica máximo (se \(a<0\)) ou mínimo (se \(a>0\)).
📐 Fórmulas essenciais
Para \( f(x)=ax^2+bx+c \) (com \(a\neq0\)):
$$ V(x_v,y_v)=\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right), \quad \Delta=b^2-4ac. $$
Além disso, se as raízes \(x_1\) e \(x_2\) existem, então \(x_v\) é o ponto médio: $$ x_v=\frac{x_1+x_2}{2}. $$
Todas as fórmulas em um só lugar para ENEM e concursos.
Exemplo rápido
Para \(f(x)=x^2-4x+3\):
\(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot1}= \dfrac{4}{2}=2\)
\(y_v=f(2)=(2)^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1\)
\(\Rightarrow V(2,-1)\) (mínimo, pois \(a>0\)).
📝 Exercícios — Vértice da Parábola
Inclui questões abertas e múltipla escolha com soluções em “abre/fecha”.
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Máximo ocorre quando a parábola é côncava para baixo ⇒ \(a<0\). Alternativa C.
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\(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\). Alternativa B.
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Identificando: \(a=-1\), \(b=4\), \(c=5\).
\(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=-\dfrac{4}{-2}=2\)
\(y_v=g(2)=- (2)^2 + 4\cdot2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\)
V(2, 9) (máximo, pois \(a<0\)).
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\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\Rightarrow -3=-\dfrac{b}{2\cdot1}\Rightarrow -3=-\dfrac{b}{2}\)
\(\Rightarrow b=6\). Alternativa B.
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Pelas relações de Viète: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\).
\(\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-b/a}{2}=-\dfrac{b}{2a}=x_v\).
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Por definição: \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\). Alternativa A.
Se quiser calcular: \(\Delta=b^2-4ac=144-4\cdot3\cdot(-7)=144+84=228\). Então \(y_v=-\dfrac{228}{4\cdot3}=-\dfrac{228}{12}=-19\).
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\(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-8}{2\cdot2}=\dfrac{8}{4}=2\)
\(y_v=q(2)=2(2)^2-8(2)+k=2\cdot4-16+k=8-16+k=-8+k\)
Como \(y_v=-2\): \(-8+k=-2 \Rightarrow k=6\).
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Se \(x_v>0\), então \(-\dfrac{b}{2a}>0\). Como \(a=-2<0\), o denominador é negativo; para a fração ser positiva, \(b>0\).
Alternativa C.
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