Aprenda uma técnica elegante para transformar equações com duas variáveis inteiras em problemas simples de divisibilidade.
Algumas equações com duas incógnitas parecem difíceis porque envolvem muitos pares possíveis de valores. Porém, quando buscamos apenas soluções inteiras, uma boa fatoração pode transformar o problema em uma lista pequena de possibilidades.
Neste artigo, vamos estudar uma técnica muito útil em problemas de Teoria dos Números, olimpíadas de matemática, OBMEP, IME, ITA e concursos: transformar uma equação diofantina em um produto de dois fatores inteiros.
O que é uma equação diofantina?
Uma equação diofantina é uma equação em que buscamos soluções inteiras. Ou seja, não queremos qualquer valor real, mas apenas números como:
Por exemplo, a equação abaixo pode ter muitas soluções reais:
Mas a pergunta mais interessante é: quais pares inteiros (x, y) satisfazem essa equação?
Problema motivador
Determine todos os pares de números inteiros (x, y) que satisfazem:
Primeiro passo: reorganizar a equação
Começamos passando o termo 2y para o primeiro membro:
Agora observamos os dois primeiros termos:
E colocamos x em evidência:
Assim, a equação fica:
Completando a fatoração
O fator y + 3 já apareceu em x(y + 3). O objetivo agora é fazer o termo -2y também participar desse mesmo fator.
Observe que:
Como temos apenas -2y, falta o termo -6. Para compensar, acrescentamos +6:
Agora fatoramos os dois primeiros termos:
Subtraindo 6 dos dois lados:
Em vez de testar muitos valores para x e y, precisamos apenas descobrir quais fatores inteiros podem multiplicar e resultar em 5.
Analisando os divisores
Como x e y são inteiros, então x – 2 e y + 3 também são inteiros.
Temos:
Os divisores inteiros de 5 são:
| x – 2 | y + 3 | x | y | Solução |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 3 | 2 | (3, 2) |
| 5 | 1 | 7 | -2 | (7, -2) |
| -1 | -5 | 1 | -8 | (1, -8) |
| -5 | -1 | -3 | -4 | (-3, -4) |
Portanto, as soluções inteiras são:
A técnica geral
A estratégia usada acima pode ser aplicada a muitas equações da forma:
Somamos ab aos dois lados:
O primeiro membro pode ser fatorado:
Isso acontece porque:
Se a equação estiver na forma xy + ax + by = c, então podemos transformá-la em (x + b)(y + a) = c + ab. Depois disso, analisamos os divisores inteiros de c + ab.
Exemplo rápido
Resolva em inteiros:
Somamos 1 aos dois lados:
Fatorando:
Agora basta analisar os divisores inteiros de 12.
Exercícios resolvidos
Agora pratique com exercícios progressivos.
Exercício 1
Resolva em números inteiros:
Ver solução
Primeiro identificamos:
Somamos o produto ab aos dois lados.
Fatorando:
Agora basta analisar os divisores inteiros de 16.
Para cada divisor d:
Logo:
As soluções são:
Exercício 2
Resolva em números inteiros:
Ver solução
Temos:
Somando ab = 6:
Os divisores de 14 são:
Para cada divisor:
As soluções são:
Exercício 3
Resolva em números inteiros:
Ver solução
A fatoração será:
Expandindo:
Então:
Agora basta analisar os divisores de 12.
Exercício 4
Resolva em números inteiros:
Ver solução
Escrevendo na forma fatorada:
Expandindo:
Logo:
Agora basta analisar os divisores de −4.
Exercício 5
Resolva em números inteiros:
Ver solução
Somando 6 aos dois lados:
Para cada divisor de 56:
Essa expressão fornece todas as soluções inteiras.
Exercício 6
Resolva em números inteiros:
Ver solução
Somando 28 aos dois lados:
Agora analisamos todos os divisores inteiros de 88.
Obtêm-se todas as soluções inteiras.
Onde essa técnica aparece?
Essa técnica é muito conhecida em treinamentos para olimpíadas e concursos militares.
- OBMEP
- OBM
- IME
- ITA
- AIME
- USAMO
- Problemas clássicos de Teoria dos Números
Ela ficou conhecida internacionalmente como Simon’s Favorite Factoring Trick (SFFT), pois transforma uma equação aparentemente complicada em um simples problema sobre divisores inteiros.
Muitos estudantes tentam resolver essas equações isolando uma variável e fazendo inúmeras contas. A fatoração reduz todo esse trabalho a poucos casos, tornando a resolução muito mais elegante.
Quando essa técnica não é indicada?
A técnica funciona muito bem quando a equação pode ser organizada na forma:
Mas ela não é a melhor escolha em equações como:
Nesse caso, não temos o termo xy nem uma estrutura natural para transformar a equação em produto. Outros métodos seriam mais adequados.
Erros comuns
- Esquecer os divisores negativos.
- Errar o sinal ao completar a fatoração.
- Considerar apenas soluções positivas.
- Não verificar se x e y são inteiros.
- Não perceber que o produto final limita o número de possibilidades.
Fato relevante
O ponto mais importante dessa técnica é que ela transforma uma busca aparentemente infinita em uma lista finita de casos.
No problema inicial, parecia que poderíamos testar muitos valores para x e y. Porém, depois da fatoração, tudo ficou reduzido aos divisores de 5.
Como 5 possui apenas quatro divisores inteiros, a equação possui exatamente quatro soluções inteiras.
Quando uma equação puder ser escrita como xy + ax + by = c, tente completar a fatoração. Em muitos casos, ela se transforma em (x + b)(y + a) = c + ab.
Conclusão
Resolver equações diofantinas por fatoração é uma estratégia simples, elegante e muito poderosa. Ela mostra que, em matemática, nem sempre o melhor caminho é testar valores ou fazer contas longas.
Ao transformar a equação em um produto, conseguimos usar divisibilidade para encontrar todas as soluções inteiras de forma organizada.
Essa técnica aparece com frequência em problemas de olimpíadas, concursos militares e questões de raciocínio algébrico. Por isso, vale a pena dominá-la e praticá-la com diferentes exemplos.
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