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(Banca IBFC – 2021 – Polinômios) Considere a igualdade polinomial dada por
∀x ∈ ℂ − {−1,0, 1}, assinale a alternativa que apresenta o valor numérico de a + b + c.
A) 2
B) -1
C) 1
D) 0
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Para resolver completamente essa questão, vamos desenvolver o processo de igualar os coeficientes de forma detalhada.
A igualdade polinomial dada é:
Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:
x3 – x = x(x – 1)(x + 1)
Assim, a equação se torna:
Para igualar os denominadores, precisamos escrever o lado direito como uma única fração com o mesmo denominador x(x – 1)(x + 1):
Igualando os numeradores:
5 = a(x – 1)(x + 1) + b(x)(x + 1) + c(x)(x – 1)
Agora, expandimos cada termo do lado direito:
- Expansão de a(x – 1)(x + 1):
a(x – 1)(x + 1) = a(x2 – 1) = ax2 – a - Expansão de b(x)(x + 1):
b(x)(x + 1) = b(x2 + x) = bx2 + bx - Expansão de ( c(x)(x – 1) ):
c(x)(x – 1) = c(x2 – x) = cx2 – cx
Somando todos os termos, temos:
5 = (a + b + c)x2 + (b – c)x – a
Agora, comparamos os coeficientes de cada termo com o lado esquerdo, que é 5 = 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x + 5 . Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de ( x2 ): a + b + c = 0
- Coeficiente de ( x ): b – c = 0
- Termo constante: -a = 5
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação, temos a = -5.
- Substituindo a = -5 na primeira equação:
-5 + b + c = 0 ⇒ b + c = 5 - Da segunda equação, temos b = c .
Substituindo b = c na equação b + c = 5:
2b = 5 ⇒ b = 5/2
Como b = c, então c = 5/2.
Portanto, encontramos a = -5, b = 5/2, e c = 5/2.
Agora, somamos a + b + c:
A resposta final é:
D) 0
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