Análise Combinatória — Guia Completo com Exercícios Resolvidos

Análise Combinatória — Guia Completo com Fórmulas e Exercícios Resolvidos

A Análise Combinatória é o conjunto de técnicas usadas para contar possibilidades de forma rápida e organizada, sem precisar listar caso por caso. É exatamente o tipo de conteúdo que aparece em ENEM, vestibulares e concursos quando o enunciado fala em: quantas maneiras, quantas formas, quantos códigos, quantos grupos, quantas ordens ou quantas escolhas.

Neste guia, você vai dominar o caminho mais eficiente: PFC → Fatorial → Arranjo → Permutação → Combinação.

Dica de prova: primeiro descubra se a ordem importa e se pode repetir. Isso quase sempre define a fórmula certa.

Resumo de Análise Combinatória com fórmulas

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O PFC é a ideia base da Análise Combinatória: quando um processo acontece em etapas, o total de possibilidades é o produto das opções de cada etapa.

O que significa cada elemento?
\(n_1, n_2, \dots, n_k\) = quantidade de escolhas possíveis na 1ª, 2ª, …, k-ésima etapa.

\[ Total = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k \]

Exercícios (enunciado + solução no abre/fecha)

Exercício 1. Uma senha tem 3 posições e, em cada posição, há 5 opções possíveis. Quantas senhas podem ser formadas?

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São 3 etapas independentes, cada uma com 5 opções:

\[ 5\cdot 5\cdot 5 = 5^3 = 125 \]

Resposta: \(\boxed{125}\).

Exercício 2. Uma roupa é formada por 1 camisa (4 opções) e 1 calça (3 opções). Quantas roupas diferentes existem?

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São 2 etapas: escolher camisa e escolher calça:

\[ 4\cdot 3 = 12 \]

Resposta: \(\boxed{12}\).

Exercício 3. Quantas placas podem ser formadas com 2 letras e 2 números, permitindo repetição?

Ver solução

Etapas: letra, letra, número, número:

\[ 26^2\cdot 10^2 = 676\cdot 100 = 67\,600 \]

Resposta: \(\boxed{67\,600}\).

Fatorial

O fatorial aparece quando contamos ordens e arranjos. Ele representa o produto de todos os naturais positivos até \(n\).

Elementos da fórmula:
\(n\) = número natural (quantidade de elementos).
Por convenção: \(1!=1\) e \(0!=1\).

\[ n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 \]

Exercícios

Exercício 1. Calcule \(5!\).

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\[ 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120 \]

Resposta: \(\boxed{120}\).

Exercício 2. Simplifique \(\dfrac{7!}{5!}\).

Ver solução

\[ \frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=7\cdot 6=42 \]

Resposta: \(\boxed{42}\).

Exercício 3. Calcule \(\dfrac{10!}{8!}\).

Ver solução

\[ \frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!}{8!}=10\cdot 9=90 \]

Resposta: \(\boxed{90}\).

Arranjo Simples

Usamos arranjo simples quando escolhemos p elementos dentre n disponíveis, sem repetição e com ordem importando (ranking, pódio, senha sem repetir, cargos diferentes).

Elementos:
\(n\) = total de elementos disponíveis.
\(p\) = quantidade de elementos escolhidos (com ordem).

\[ A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!} \]

Exercícios

Exercício 1. Quantos códigos com 2 letras distintas podem ser formados a partir de 5 letras?

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\[ A_{5,2}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=20 \]

Resposta: \(\boxed{20}\).

Exercício 2. Um pódio (1º, 2º e 3º) será formado com 8 atletas. Quantas possibilidades?

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\[ A_{8,3}=\frac{8!}{5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=336 \]

Resposta: \(\boxed{336}\).

Exercício 3. Quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser formadas usando 0 a 9?

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\[ A_{10,4}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040 \]

Resposta: \(\boxed{5040}\).

Arranjo com Repetição

Usamos arranjo com repetição quando escolhemos p posições e, em cada posição, existem n opções, e a repetição é permitida (senha com repetição, cores repetidas, etc.).

Elementos:
\(n\) = número de opções em cada posição.
\(p\) = número de posições (tamanho do código/seqüência).

\[ A_{n,p}=n^p \]

Exercícios

Exercício 1. Quantos códigos de 4 posições podem ser formados usando 3 símbolos, com repetição?

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\[ 3^4=81 \]

Resposta: \(\boxed{81}\).

Exercício 2. Quantas senhas de 3 dígitos podem ser formadas usando 0 a 9, com repetição?

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\[ 10^3=1000 \]

Resposta: \(\boxed{1000}\).

Exercício 3. Quantas sequências de 5 letras podem ser formadas usando 5 letras, com repetição?

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\[ 5^5=3125 \]

Resposta: \(\boxed{3125}\).

Permutação Simples

A permutação simples ocorre quando usamos todos os \(n\) elementos e queremos contar quantas ordens diferentes existem, sem repetição.

Elemento: \(n\) = total de elementos que serão ordenados.

\[ P_n=n! \]

Exercícios

Exercício 1. De quantas formas 6 pessoas podem formar uma fila?

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\[ 6!=720 \]

Resposta: \(\boxed{720}\).

Exercício 2. Quantos anagramas tem a palavra AMOR?

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\[ 4!=24 \]

Resposta: \(\boxed{24}\).

Exercício 3. Quantas ordens existem para organizar 7 livros diferentes em uma estante?

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\[ 7!=5040 \]

Resposta: \(\boxed{5040}\).

Permutação com Repetição

Usamos permutação com repetição quando os elementos são ordenados, mas existem itens repetidos (letras repetidas em uma palavra, por exemplo). As repetições “reduzem” a contagem, por isso dividimos por fatoriais.

Elementos:
\(n\) = total de elementos.
\(n_1,n_2,\dots,n_k\) = quantidades repetidas de cada tipo.

\[ P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!} \]

Exercícios

Exercício 1. Quantos anagramas tem a palavra MONITOR?

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MONITOR tem 7 letras e a letra O aparece 2 vezes:

\[ P=\frac{7!}{2!}=\frac{5040}{2}=2520 \]

Resposta: \(\boxed{2520}\).

Exercício 2. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

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BANANA tem 6 letras: A repete 3 vezes e N repete 2 vezes:

\[ P=\frac{6!}{3!\,2!}=\frac{720}{6\cdot 2}=60 \]

Resposta: \(\boxed{60}\).

Exercício 3. Quantos anagramas tem a palavra AMÉRICA (considerando as letras distintas)?

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Considerando todas as letras distintas (7 letras):

\[ 7!=5040 \]

Resposta: \(\boxed{5040}\).

Permutação Circular

Na permutação circular, os elementos são dispostos em círculo. Aqui, rotações não geram novas disposições (porque o círculo “gira” e fica igual). Por isso, fixamos um elemento e permutamos os outros.

Elemento: \(n\) = número de elementos no círculo.

\[ P_c=(n-1)! \]

Exercícios

Exercício 1. Quantas formas 5 pessoas podem sentar em uma mesa redonda?

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\[ (5-1)!=4!=24 \]

Resposta: \(\boxed{24}\).

Exercício 2. Quantas formas 7 pessoas podem formar uma roda?

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\[ (7-1)!=6!=720 \]

Resposta: \(\boxed{720}\).

Exercício 3. Quantas disposições circulares existem para 10 pessoas?

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\[ (10-1)!=9!=362880 \]

Resposta: \(\boxed{362880}\).

Combinação Simples

A combinação simples é usada quando escolhemos \(p\) elementos dentre \(n\), sem repetição e com ordem NÃO importando (grupos, equipes, comissões).

Elementos:
\(n\) = total disponível.
\(p\) = quantidade escolhida.
O termo \(p!(n-p)!\) remove as contagens repetidas que acontecem quando a ordem é irrelevante.

\[ C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \]

Exercícios

Exercício 1. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser formados a partir de 5?

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\[ C_{5,2}=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\cdot 6}=10 \]

Resposta: \(\boxed{10}\).

Exercício 2. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de 10?

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\[ C_{10,3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120 \]

Resposta: \(\boxed{120}\).

Exercício 3. Quantos subconjuntos de 4 elementos existem em um conjunto de 8 elementos?

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\[ C_{8,4}=\frac{8!}{4!\,4!}=\frac{40320}{24\cdot 24}=70 \]

Resposta: \(\boxed{70}\).

Combinação com Repetição

A combinação com repetição aparece quando escolhemos \(p\) itens, mas agora a repetição é permitida e a ordem não importa (ex.: escolher bolas de sorvete, moedas de tipos diferentes, itens iguais).

Elementos:
\(n\) = quantidade de tipos disponíveis.
\(p\) = quantidade escolhida (com repetição permitida).
Usamos: \(\binom{n+p-1}{p}\).

\[ CR_{n,p}=\binom{n+p-1}{p} \]

Exercícios

Exercício 1. Quantas formas de escolher 2 itens dentre 3 tipos, com repetição?

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\[ CR_{3,2}=\binom{3+2-1}{2}=\binom{4}{2}=6 \]

Resposta: \(\boxed{6}\).

Exercício 2. Quantas formas de escolher 3 itens dentre 5 tipos, com repetição?

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\[ CR_{5,3}=\binom{7}{3}=35 \]

Resposta: \(\boxed{35}\).

Exercício 3. Quantas formas de escolher 4 itens dentre 4 tipos, com repetição?

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\[ CR_{4,4}=\binom{7}{4}=35 \]

Resposta: \(\boxed{35}\).

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.