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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem

Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças, um segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dança com todas as moças. Qual é a relação entre m e r?

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1 – Análise Combinatória – Progressões Aritméticas

Neste problema, analisamos as condições de dança no baile. Cada rapaz dança com um número de moças que aumenta em 1 a cada rapaz, formando uma progressão aritmética (P.A.). O objetivo é encontrar uma relação entre o número de rapazes (rr) e o número de moças (mm).

2 – Entendendo o Enunciado

• O primeiro rapaz dança com 5 moças.
• O segundo rapaz dança com 6 moças.
• O terceiro rapaz dança com 7 moças, e assim por diante.
• O último rapaz (rr-ésimo) dança com todas as moças, ou seja, com mm moças.

Este padrão forma uma P.A., onde:

• O primeiro termo é a₁ = 5.
• A razão é 1 (o número de moças aumenta em 1 para cada rapaz).
• O último termo (a_r) é igual ao número total de moças (m).

3 – Fórmula do Último Termo na P.A.

A fórmula para o nn-ésimo termo (a_n) de uma P.A. é:

a_n = a₁ + (n − 1)⋅r

Substituímos os valores:

• a_n = m (último termo é o total de moças).
• a₁ = 5 (primeiro rapaz dança com 5 moças).
• n = r (há r rapazes).
• Razão (r) é 1.

Assim:

m = 5 + (r − 1)⋅1

m = 5 + r − 1

m = r + 4

4 – Resposta

A relação entre o número de moças (m) e o número de rapazes (r) é: m = r + 4

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