Princípio fundamental da contagem exercícios

1 – Análise Combinatória – Combinações Simétricas

Neste problema, queremos calcular o número de peças diferentes em um jogo de dominó utilizando os números {0, 1, 2, …, n}. Lembrando que as peças de dominó são simétricas, ou seja, a ordem dos números não importa ((a, b) é o mesmo que ((b, a)).

2 – Estrutura das Peças de Dominó

As peças podem ser classificadas em dois tipos:

1. Peças com números diferentes: Essas peças são formadas escolhendo dois números distintos a e b, com a ≠ b
2. Peças com números iguais (duplas): Essas peças são da forma (a, a).

3 – Fórmula para o Total de Peças

• O total de combinações possíveis para escolher dois números (sem repetição e sem considerar a ordem) é dado pela fórmula de combinação:

C(n+1, 2) = [(n + 1)⋅n]/2

Aqui, n+1 é o total de números disponíveis (0, 1, 2, …, n).

• Além disso, cada número pode formar uma peça dupla ((0, 0), (1, 1), …, (n, n)), resultando em n+1 peças duplas.

Total de peças: Somando as combinações de peças diferentes e as duplas:

Total de peças = C(n+1, 2) + (n+1)

Substituindo a fórmula da combinação:

Colocando n+1 em evidência:

4 – Resposta

O número total de peças diferentes em um jogo de dominó com os números {0, 1, 2, …, n} é:

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