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Questão de Analise Combinatória – Princípio Fundamental da Contagem
Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números 0, 1, 2, 3, …, n?
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1 – Análise Combinatória – Combinações Simétricas
Neste problema, queremos calcular o número de peças diferentes em um jogo de dominó utilizando os números {0, 1, 2, …, n}. Lembrando que as peças de dominó são simétricas, ou seja, a ordem dos números não importa ((a, b) é o mesmo que ((b, a)).
2 – Estrutura das Peças de Dominó
As peças podem ser classificadas em dois tipos:
- Peças com números diferentes: Essas peças são formadas escolhendo dois números distintos a e b, com a ≠ b
- Peças com números iguais (duplas): Essas peças são da forma (a, a).
3 – Fórmula para o Total de Peças
- O total de combinações possíveis para escolher dois números (sem repetição e sem considerar a ordem) é dado pela fórmula de combinação:
C(n+1, 2) = [(n + 1)⋅n]/2
Aqui, n+1 é o total de números disponíveis (0, 1, 2, …, n).
- Além disso, cada número pode formar uma peça dupla ((0, 0), (1, 1), …, (n, n)), resultando em n+1 peças duplas.
Total de peças: Somando as combinações de peças diferentes e as duplas:
Total de peças = C(n+1, 2) + (n+1)
Substituindo a fórmula da combinação:
Colocando n+1 em evidência:
4 – Resposta
O número total de peças diferentes em um jogo de dominó com os números {0, 1, 2, …, n} é:
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