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Área do Losango

Área do Losango — fórmulas, passo a passo e exercícios

Área do Losango

O losango é um quadrilátero com os quatro lados congruentes. Suas diagonais são perpendiculares e bissetam os ângulos. Abaixo estão as principais fórmulas de área e exemplos práticos.

Losango com diagonais D e d e fórmula A = D·d/2
Relação principal: \( \displaystyle A=\frac{D\cdot d}{2}\), onde \(D\) e \(d\) são as diagonais.
Reforce a base em: Área de Triângulo, Área do Trapézio, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

Fórmulas da área do losango

\[ \textbf{Produto das diagonais:}\quad \boxed{A=\frac{D\cdot d}{2}} \]
\[ \textbf{Base × altura (paralelogramo):}\quad A=b\cdot h \]
\[ \textbf{Pelo lado e ângulo interno:}\quad A=\ell^{2}\,\sin\theta \]

Observação: em \(A=b\cdot h\), \(b\) é um lado tomado como base e \(h\) é a distância perpendicular entre lados paralelos.

\[ \textbf{Perímetro:}\quad P=4\ell \]
\[ \textbf{Relação lado–diagonais:}\quad \ell^2=\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2 \]

Exemplos resolvidos (situação-problema)

1

Área por diagonais

Uma placa de sinalização tem formato de losango com diagonais medidas em obra.

Dados
\(D=24\,\text{cm}\) e \(d=10\,\text{cm}\).

Pergunta: qual é a área da placa?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\frac{D\cdot d}{2}\\ &=\frac{24\cdot 10}{2}\\ &=\boxed{120\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]
2

Área por lado e ângulo

Um azulejo em forma de losango (lados congruentes) será produzido com um ângulo interno definido pelo designer.

Dados
\(\ell=12\,\text{cm}\) e \(\theta=40^\circ\).

Pergunta: qual é a área do azulejo?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=\ell^2\sin\theta\\ &=12^2\cdot \sin 40^\circ\\ &=144\cdot 0{,}642787\ldots\\ &\approx \boxed{92{,}6\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]
3

Base × altura

Uma peça de tecido em losango será cortada a partir de um rolo, com a altura medida entre lados paralelos.

Dados
Base \(b=8\,\text{m}\) e altura \(h=5\,\text{m}\).

Pergunta: qual é a área do tecido?

Ver solução
\[ \begin{aligned} A&=b\cdot h\\ &=8\cdot 5\\ &=\boxed{40\ \text{m}^2} \end{aligned} \]
4

Perímetro + diagonal ⇒ outra diagonal e área

Um emblema tem perímetro conhecido e apenas a diagonal menor medida no protótipo.

Dados
\(P=40\,\text{cm}\Rightarrow \ell=10\,\text{cm}\); diagonal menor \(d=10\,\text{cm}\).

Pergunta: determine a outra diagonal \(D\) e a área.

Ver solução
\[ \begin{aligned} \ell^2&=\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2\\ 10^2&=\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{10}{2}\right)^2\\ 100&=\left(\frac{D}{2}\right)^2+25\\ \left(\frac{D}{2}\right)^2&=75\\ \frac{D}{2}&=\sqrt{75}\\ D&=2\sqrt{75}\approx 17{,}32\ \text{cm} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} A&=\frac{D\cdot d}{2}\\ &\approx \frac{17{,}32\cdot 10}{2}\\ &\approx \boxed{86{,}6\ \text{cm}^2} \end{aligned} \]

Erros comuns (e como evitar)

Confundir diagonais com lados. A fórmula \(A=\dfrac{D\,d}{2}\) usa diagonais, não os lados.

Usar \(\ell^2\sin\theta\) com ângulo externo. O \(\theta\) é o ângulo interno do losango.

Altura ≠ lado inclinado. Em \(A=b\cdot h\), \(h\) é a distância perpendicular entre lados paralelos.

Exercícios propostos

1

Diagonais em metros

Um piso decorativo foi desenhado como losango e as duas diagonais foram levantadas no local.

Dados
\(D=3{,}2\,\text{m}\) e \(d=1{,}5\,\text{m}\).

Calcule a área.

Ver gabarito
\[ A=\frac{3{,}2\cdot 1{,}5}{2}= \frac{4{,}8}{2}= \boxed{2{,}4\ \text{m}^2} \]
2

Lado e ângulo

Um azulejo losangular deve manter o ângulo interno proposto para preservar o design.

Dados
\(\ell=9\,\text{cm}\) e \(\theta=60^\circ\).

Calcule a área.

Ver gabarito
\[ A=\ell^2\sin 60^\circ= 81\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \boxed{70{,}1\ \text{cm}^2} \]
3

Base × altura

Na confecção de bandeiras, a faixa central é um losango com base e altura já definidas.

Dados
\(b=25\,\text{cm}\) e \(h=14\,\text{cm}\).

Encontre a área.

Ver gabarito
\[ A=b\cdot h=25\cdot 14=\boxed{350\ \text{cm}^2} \]

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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