Área do Quadrado \(A=l^2\): teoria, exemplos e exercícios
Tudo o que você precisa saber sobre quadrados: área, perímetro, diagonal e variações. Inclui lista de exercícios com gabarito passo a passo.
Fórmulas principais do quadrado
Área
\[A=l^2\]
Resultado em unidades de área (cm², m², …).
Perímetro e diagonal
\[ P=4l \qquad\text{e}\qquad d=l\sqrt{2} \]
As diagonais são perpendiculares e de mesmo tamanho.
Formas equivalentes da área
\[ A=\left(\frac{P}{4}\right)^2 \quad\text{e}\quad A=\frac{d^2}{2} \]
Úteis quando o problema fornece perímetro \(P\) ou diagonal \(d\).
Como isolar o lado
\[ l=\sqrt{A}\quad\text{ou}\quad l=\frac{P}{4}\quad\text{ou}\quad l=\frac{d}{\sqrt{2}} \]
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 Direto no lado
Um quadrado tem lado \(l=5\,\text{cm}\). Calcule área e perímetro.
Ver solução
\(=5^2\)
\(=25\,\text{cm}^2\).
Perímetro: \(P=4l\)
\(=4\cdot 5\)
\(=20\,\text{cm}\).
Exemplo 2 A partir do perímetro
O perímetro de um quadrado é \(P=36\,\text{cm}\). Determine o lado e a área.
Ver solução
\(=\dfrac{36}{4}\)
\(=9\,\text{cm}\).
\(A=l^2\)
\(=9^2\)
\(=81\,\text{cm}^2\).
Exemplo 3 Usando a diagonal
Em um quadrado, a diagonal mede \(d=10\,\text{cm}\). Calcule a área.
Ver solução
\(=\dfrac{10^2}{2}\)
\(=\dfrac{100}{2}\)
\(=50\,\text{cm}^2\).
Exemplo 4 De área para diagonal
Um quadrado possui área \(A=200\,\text{cm}^2\). Encontre a diagonal.
Ver solução
\(=\sqrt{2\cdot 200}\)
\(=\sqrt{400}\)
\(=20\,\text{cm}\).
Exercícios de múltipla escolha (com gabarito)
Enunciados completos e soluções com os passos apresentados um abaixo do outro após cada “=”.
1) Um quadrado tem lado 7 cm. Qual é a sua área?
Gabarito e solução
\(=7^2\)
\(=49\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra C.
2) O perímetro de um quadrado é 36 cm. Determine a área.
Gabarito e solução
\(=9\).
\(A=l^2=9^2\)
\(=81\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra B.
3) A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Qual é a área?
Gabarito e solução
\(=\dfrac{10^2}{2}\)
\(=\dfrac{100}{2}\)
\(=50\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra B.
4) A área de um quadrado é 196 m². Qual é o perímetro?
Gabarito e solução
\(=14\,\text{m}\).
\(P=4l=4\cdot 14\)
\(=56\,\text{m}\Rightarrow\) Letra C.
5) Um piso quadrado tem área de 64 m². O custo por metro quadrado é R$ 45,00. Quanto custa revesti-lo?
Gabarito e solução
\(=64\cdot 45\)
\(=2.880\Rightarrow\) Letra B.
6) A diagonal de um quadro quadrado mede 20 cm. Qual é o perímetro do quadro?
Gabarito e solução
\(=10\sqrt{2}\,\text{cm}\).
\(P=4l=4\cdot 10\sqrt{2}\)
\(=40\sqrt{2}\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra A (aprox. \(56{,}57\,\text{cm}\)).
7) O lado de um quadrado foi aumentado em 25%. Em quanto por cento a área aumentou?
Gabarito e solução
Fator na área \(=(1{,}25)^2\)
\(=1{,}5625\).
Aumento \(=56{,}25\%\Rightarrow\) Letra D.
8) Um quadrado está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm. Qual é a área do quadrado?
Gabarito e solução
\(A=\dfrac{d^2}{2}=\dfrac{12^2}{2}\)
\(=\dfrac{144}{2}\)
\(=72\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra C.
Dicas finais
- Se a diagonal aparecer, pense em \(l=\dfrac{d}{\sqrt{2}}\) e \(A=\dfrac{d^2}{2}\).
- Se o perímetro for dado, \(l=\dfrac{P}{4}\) resolve rapidamente.
- Confira as unidades antes de substituir (cm, m, etc.).
