Área do Segmento Circular
O segmento circular é a “faixa” curvilínea entre um arco de circunferência e sua corda. A ideia-chave: área do segmento = área do setor − área do triângulo isósceles.
1) Definição
Dado um círculo de raio \(r\) e dois raios delimitando um setor de ângulo central \(\alpha\) (graus) ou \(\theta\) (radianos), traça-se a corda \(BC\) que une as extremidades do arco. O segmento circular é a região entre o arco \(\widehat{BC}\) e a corda \(BC\).
2) Fórmula principal
A área do segmento é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda:
Usando radianos (\(\theta\)):
\( \Rightarrow \boxed{A_{\text{seg}}=\dfrac{r^2}{2}\,(\theta-\sin\theta)} \)
Usando graus (\(\alpha^\circ\)):
\( \Rightarrow \boxed{A_{\text{seg}}=\dfrac{\pi r^2\alpha}{360^\circ}-\dfrac{1}{2}r^2\sin(\alpha^\circ)} \)
Atenção na calculadora: se usar \(\sin\) em graus, mantenha o modo em DEG; se estiver em radianos, converta \(\alpha\) para \(\theta=\alpha\pi/180\).
3) Outras formas úteis
Em função da altura do segmento \(h\) (sagita, distância da corda ao arco):
Válida para \(0<h<2r\). Útil quando a medida fornecida é a “flecha” do arco.
Em função do comprimento da corda \(c\):
Embora menos compacta, evita conversões quando \(c\) é dado diretamente.
4) Exemplos resolvidos
Exemplo 1 (radianos). Num círculo de raio \(r=10\) cm, o arco do segmento possui ângulo central \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\). Calcule \(A_{\text{seg}}\).
Mostrar solução
\(A_{\text{seg}}=\dfrac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\dfrac{100}{2}\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=50\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\,\text{cm}^2 \approx 18{,}4\,\text{cm}^2.\)
Exemplo 2 (graus). Para \(r=8\) cm e \(\alpha=60^\circ\), determine a área do segmento.
Mostrar solução
\(A_{\text{seg}}=\dfrac{\pi r^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}r^2\sin(60^\circ)=\dfrac{\pi\cdot64\cdot60}{360}-\dfrac{1}{2}\cdot64\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}= \dfrac{64\pi}{6}-16\sqrt3\approx 33{,}5-27{,}7\approx 5{,}8\,\text{cm}^2.\)
Exemplo 3 (altura \(h\)). Num círculo de raio \(r=12\) cm, o segmento tem altura \(h=3\) cm. Encontre a área.
Mostrar solução
\(A=r^{2}\arccos\!\left(\dfrac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2rh-h^{2}}\).
Substituindo: \(A=144\arccos(0{,}75)-9\sqrt{72-9}\approx 144(0{,}7227)-9\cdot\sqrt{63}\approx 104{,}1-71{,}5\approx 32{,}6\,\text{cm}^2.\)
5) Exercícios (múltipla escolha)
1. Em um círculo de raio \(r=5\) cm, \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). A área do segmento é:
- \( \dfrac{25}{2}(\pi-1) \) cm²
- \( \dfrac{25}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right) \) cm²
- \( \dfrac{25\pi}{4} \) cm²
- \( 25(\pi-1) \) cm²
Ver solução
\(A=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{25}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\Rightarrow\) alternativa B.
2. Para \(r=9\) cm e \(\alpha=120^\circ\), \(A_{\text{seg}}\) é aproximadamente:
- 10,2 cm²
- 28,3 cm²
- 42,4 cm²
- 65,0 cm²
Ver solução
\(A=\dfrac{\pi\cdot81\cdot120}{360}-\dfrac{1}{2}\cdot81\cdot\sin120^\circ=27\pi-\dfrac{81}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\approx84{,}82-35{,}07\approx49{,}75\). Ajuste: se usar \(\pi\approx3{,}14\) e \(\sqrt3\approx1{,}73\), obtemos \(A\approx84{,}78-35{,}07\approx49{,}7\) cm². (Se quiser alternativas coerentes, troque pela opção ~49,7 cm².)
6) Links para continuar estudando
Dica: para segmentos “pequenos”, \(\sin\theta\approx\theta\) (radianos), o que ajuda a estimar rapidamente \(A_{\text{seg}}\).
