Área do Trapézio
Chamamos de trapézio o quadrilátero que possui um par de lados paralelos (bases): base maior \(B\) e base menor \(b\). A altura \(h\) é a distância perpendicular entre as bases. Nosso foco é calcular a área do trapézio em diferentes situações.
\[
\textbf{Área do trapézio:}\quad
A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}
\]
Como a mediana (segmento médio) é \(m=\dfrac{B+b}{2}\), também vale \(\;A=m\cdot h\).
Relacionados para reforço:
Área de triângulo,
Lei dos Cossenos,
Lei dos Senos e
Triângulos: tipos e propriedades.
Reconhecendo os tipos (para achar a altura)
Escaleno: sem igualdades; a altura costuma vir por projeção/semelhança ou decomposição em triângulos.
Isósceles: pernas congruentes; pode-se usar \(h=\sqrt{\ell^2-\left(\dfrac{B-b}{2}\right)^2}\).
Como chegar à fórmula da área
Divida o trapézio em dois triângulos pela diagonal e some as áreas: \(A=\dfrac{1}{2}B\cdot h+\dfrac{1}{2}b\cdot h=\dfrac{(B+b)h}{2}\).
Alternativa geral (qualquer quadrilátero convexo): \(A=\dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\theta\), onde \(d_1\) e \(d_2\) são diagonais e \(\theta\) o ângulo entre elas.
Exemplos resolvidos (situação-problema)
1
Área direta com altura
- Cenário
- Piso de um mezanino.
- Dados
- \(B=8\,\text{m}\), \(b=5\,\text{m}\), \(h=3\,\text{m}\).
Pergunta: qual é a área do trapézio para o piso?
Ver solução
\[
\begin{aligned}
A &= \frac{(B+b)\cdot h){2}} \\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
A &= \frac{(B+b)\cdot h}{2} \\
&= \frac{(8+5)\cdot 3}{2} \\
&= \frac{13\cdot 3}{2} \\
&= \frac{39}{2} \\
&= \boxed{19{,}5\ \text{m}^2}
\end{aligned}
\]
2
Trapézio retângulo (altura é a lateral)
- Cenário
- Placa metálica.
- Dados
- \(B=14\,\text{cm}\), \(b=6\,\text{cm}\), \(h=4\,\text{cm}\).
Pergunta: encontre a área do trapézio.
Ver solução
\[
\begin{aligned}
A &= \frac{(B+b)\cdot h}{2} \\
&= \frac{(14+6)\cdot 4}{2} \\
&= \frac{20\cdot 4}{2} \\
&= \frac{80}{2} \\
&= \boxed{40\ \text{cm}^2}
\end{aligned}
\]
3
Trapézio isósceles (altura por Pitágoras)
- Cenário
- Vidro automotivo.
- Dados
- \(B=30\,\text{cm}\), \(b=18\,\text{cm}\), \(\ell=10\,\text{cm}\) (pernas iguais).
Pergunta: qual é a área do trapézio?
Ver solução
\[
\begin{aligned}
h &= \sqrt{\ell^{2}-\left(\frac{B-b}{2}\right)^{2}} \\
&= \sqrt{10^{2}-\left(\frac{30-18}{2}\right)^{2}} \\
&= \sqrt{100-6^{2}} \\
&= \sqrt{64} \\
&= 8\ \text{cm}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
A &= \frac{(B+b)\cdot h}{2} \\
&= \frac{(30+18)\cdot 8}{2} \\
&= \frac{48\cdot 8}{2} \\
&= \boxed{192\ \text{cm}^2}
\end{aligned}
\]
4
Usando diagonais e ângulo
- Cenário
- Terreno irregular.
- Dados
- \(d_1=26\,\text{m}\), \(d_2=18\,\text{m}\), \(\theta=40^\circ\).
Pergunta: calcule a área do trapézio.
Ver solução
\[
\begin{aligned}
A &= \frac{1}{2}\,d_1\,d_2\,\sin\theta \\
&= \tfrac{1}{2}\cdot 26 \cdot 18 \cdot \sin 40^\circ \\
&= 234 \cdot 0{,}643\ldots \\
&\approx \boxed{150{,}3\ \text{m}^2}
\end{aligned}
\]
Exercícios propostos (situação-problema)
1
Orçamento de jardim — área direta
- Cenário
- Um canteiro tem forma de trapézio.
- Dados
- Bases \(B=20\,\text{cm}\) e \(b=9\,\text{cm}\); altura \(h=7\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a área do trapézio para estimar a terra?
2
Vitral isósceles — descubra a altura e a área
- Cenário
- Um vitral tem moldura em trapézio isósceles.
- Dados
- Base maior \(B=36\,\text{cm}\), base menor \(b=22\,\text{cm}\), pernas iguais \(\ell=13\,\text{cm}\).
Pergunta: calcule a altura \(h\) e, em seguida, a área do trapézio.
3
Plataforma retângulo-inclinada — lateral é a altura
- Cenário
- Uma plataforma em trapézio retângulo servirá de base para um tanque.
- Dados
- Base maior \(B=15\,\text{m}\), base menor \(b=11\,\text{m}\), lateral perpendicular \(h=4{,}5\,\text{m}\).
Pergunta: determine a área do trapézio para dimensionar a chapa.
4
Levantamento de terreno — diagonais e ângulo
- Cenário
- O lote tem forma aproximada de trapézio.
- Dados
- Diagonais \(d_1=30\,\text{m}\) e \(d_2=25\,\text{m}\); ângulo entre elas \(\theta=55^\circ\).
Pergunta: usando \(A=\tfrac12 d_1 d_2 \sin\theta\), qual é a área do trapézio?
Continue estudando (linkagem interna)
Área de Triângulo — base–altura, 2 lados + ângulo, Heron.
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — úteis ao decompor o trapézio em triângulos.
Triângulos: tipos e propriedades — para revisar projeções e semelhança.
Materiais do Matemática Hoje
Lista de exercícios — múltipla escolha (situação-problema)
1
Mezanino — área direta
- Cenário
- Um piso de mezanino tem forma trapezoidal.
- Dados
- Bases \(B=12\,\text{cm}\), \(b=8\,\text{cm}\); altura \(h=5\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a área do trapézio?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=\frac{(B+b)\cdot h}{2}\\
&=\frac{(12+8)\cdot 5}{2}\\
&=\frac{20\cdot 5}{2}\\
&=\boxed{50\ \text{cm}^2}\ (\text{C})
\end{aligned}
\]
2
Painel — encontre a altura
- Cenário
- Um painel trapezoidal será fixado numa parede.
- Dados
- Área \(A=96\,\text{m}^2\), bases \(B=14\,\text{m}\), \(b=10\,\text{m}\).
Pergunta: qual deve ser a altura \(h\)?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=\frac{(B+b)h}{2}\Rightarrow h=\frac{2A}{B+b}\\
h&=\frac{2\cdot 96}{14+10}=\frac{192}{24}=\boxed{8\ \text{m}}\ (\text{C})
\end{aligned}
\]
3
Vidro automotivo (isósceles)
- Cenário
- Um vidro de carro tem moldura em trapézio isósceles.
- Dados
- Bases \(B=30\,\text{cm}\), \(b=18\,\text{cm}\); pernas \(\ell=10\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a área do trapézio?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
h&=\sqrt{\ell^{2}-\left(\frac{B-b}{2}\right)^2}
=\sqrt{10^2-6^2}
=\sqrt{64}=8\\
A&=\frac{(30+18)\cdot 8}{2}=24\cdot 8=\boxed{192\ \text{cm}^2}\ (\text{B})
\end{aligned}
\]
4
Plataforma retângula
- Cenário
- Base de uma plataforma em trapézio retângulo.
- Dados
- Bases \(B=15\,\text{m}\), \(b=9\,\text{m}\); altura \(h=4{,}5\,\text{m}\).
Pergunta: qual é a área?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=\frac{(15+9)\cdot 4{,}5}{2}
=\frac{24\cdot 4{,}5}{2}
=12\cdot 4{,}5
=\boxed{54\ \text{m}^2}\ (\text{C})
\end{aligned}
\]
5
Terreno — diagonais e ângulo
- Cenário
- Levantamento de um lote trapezoidal.
- Dados
- Diagonais \(d_1=26\,\text{m}\), \(d_2=18\,\text{m}\); ângulo \(\theta=40^\circ\).
Pergunta: qual é a área?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=\tfrac12 d_1 d_2 \sin\theta
=\tfrac12\cdot 26\cdot 18\cdot \sin 40^\circ\\
&=234\cdot 0{,}642787\ldots
\approx \boxed{150{,}4\ \text{m}^2}\ (\text{C})
\end{aligned}
\]
6
Piso técnico — mediana
- Cenário
- Piso elevado em módulos trapezoidais.
- Dados
- Mediana \(m=11\,\text{cm}\), altura \(h=7\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a área?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=m\cdot h=11\cdot 7=\boxed{77\ \text{cm}^2}\ (\text{B})
\end{aligned}
\]
7
Outdoor — base menor desconhecida
- Cenário
- Impressão de lona trapezoidal.
- Dados
- Área \(A=63\,\text{m}^2\), altura \(h=7\,\text{m}\), base maior \(B=11\,\text{m}\).
Pergunta: qual é a base menor \(b\)?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
A&=\frac{(B+b)h}{2}\Rightarrow B+b=\frac{2A}{h}=\frac{126}{7}=18\\
b&=18-11=\boxed{7\ \text{m}}\ (\text{C})
\end{aligned}
\]
8
Qual par NÃO serve?
- Cenário
- Dimensionamento rápido de peças.
- Dados
- \(A=48\,\text{m}^2\), \(h=6\,\text{m}\).
Pergunta: qual par de bases não é possível?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
B+b&=\frac{2A}{h}=\frac{96}{6}=16\\
\text{Somas: }&10+6=16;\ 12+3=15;\ 9+7=16;\ 13+3=16\\
\Rightarrow&\ \boxed{\text{B}}\ \text{(não soma 16)}
\end{aligned}
\]
9
Variação percentual
- Cenário
- Projeto mantém as bases; altera-se a altura.
- Dados
- Altura aumenta \(15\%\) e \(B,b\) constantes.
Pergunta: de quanto varia a área?
Gabarito e solução
\[
A=\frac{(B+b)}{2}\,h\ \Rightarrow\ A\propto h\ \Rightarrow\ \boxed{+15\%}\ (\text{B})
\]
10
Conversão de unidades
- Cenário
- Placa técnica com medidas mistas.
- Dados
- \(B=1{,}2\,\text{m}\), \(b=80\,\text{cm}\), \(h=50\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a área em \(\text{m}^2\)?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
b&=0{,}8\ \text{m},\quad h=0{,}5\ \text{m}\\
A&=\frac{(1{,}2+0{,}8)}{2}\cdot 0{,}5
=1\cdot 0{,}5
=\boxed{0{,}5\ \text{m}^2}\ (\text{B})
\end{aligned}
\]
11
Altura em trapézio isósceles
- Cenário
- Moldura isósceles precisa da altura para corte.
- Dados
- \(B=22\,\text{cm}\), \(b=10\,\text{cm}\), \(\ell=8\,\text{cm}\).
Pergunta: qual é a altura \(h\)?
Gabarito e solução
\[
\begin{aligned}
\frac{B-b}{2}&=\frac{22-10}{2}=6\\
h&=\sqrt{\ell^2-\left(\frac{B-b}{2}\right)^2}
=\sqrt{8^2-6^2}
=\sqrt{28}
\approx \boxed{5{,}29\ \text{cm}}\ (\text{B})
\end{aligned}
\]
12
Conceito — marque a correta
- Cenário
- Revisão conceitual para prova.
- Dados
- Definições de altura, mediana e propriedades.
Pergunta: sobre trapézios, assinale a alternativa verdadeira.
Gabarito e solução
\[
\text{Verdadeira: }\boxed{\text{B}}\quad(\,m=\tfrac{B+b}{2}\,)
\]
