Área do Triângulo (qualquer): \(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
Entenda a fórmula base × altura, descubra como obter a altura em cada caso e pratique com exercícios comentados.
Conceito e fórmula
Para qualquer triângulo, a área é dada por metade do produto entre uma base e a respectiva altura (também chamada de altitude):
Fórmula principal
\[ A \;=\; \frac{b\cdot h}{2} \]
A altura é sempre perpendicular à base escolhida.
Como encontrar a altura \(h\)
- Acutângulo: a altitude cai dentro do triângulo.
- Retângulo: os catetos já são base e altura.
- Obtusângulo: a altura é externa — prolongue a base para traçar a perpendicular.
Também é possível obter \(h\) via trigonometria: se um lado \(a\) forma ângulo \(\theta\) com a base, então \(h=a\sin\theta\).
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Outras expressões equivalentes
Dependendo dos dados do problema, estas formas podem ser mais práticas:
\[ A=\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(\gamma)\quad (\text{ângulo entre } a \text{ e } b) \]
\[ A=\frac{a\,b\,c}{4R}\quad (\text{usando o circunrádio } R) \]
\[ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad \text{(Fórmula de Heron)} \]
Onde \(s=\frac{a+b+c}{2}\) é o semiperímetro.
Veja artigos dedicados: Área com seno e Área pelo circunrádio.
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 Básico
Em um triângulo qualquer, a base mede \(b=10\,\text{cm}\) e a altura relativa a essa base mede \(h=7\,\text{cm}\). Determine a área em cm².
Ver solução
\(=\dfrac{10\cdot 7}{2}\)
\(=\dfrac{70}{2}\)
\(=35\,\text{cm}^2\).
Exemplo 2 Obtusângulo
Num triângulo obtusângulo, a base é \(b=12\,\text{cm}\) e a altura relativa a essa base (externa) é \(h=5\,\text{cm}\). Calcule a área em cm².
Ver solução
\(=\dfrac{12\cdot 5}{2}\)
\(=\dfrac{60}{2}\)
\(=30\,\text{cm}^2\).
Exemplo 3 Com trigonometria
Um lado tem comprimento \(a=10\,\text{cm}\) e forma \(\theta=30^\circ\) com a base \(b=14\,\text{cm}\). Considere \(h=a\sin\theta\). Encontre a área em cm².
Ver solução
\(=10\cdot 0{,}5\)
\(=5\).
\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
\(=\dfrac{14\cdot 5}{2}\)
\(=\dfrac{70}{2}\)
\(=35\,\text{cm}^2\).
Exercícios de múltipla escolha (com gabarito)
Enunciados mais completos e soluções com os passos um abaixo do outro após cada “=”.
1) Em um triângulo qualquer, a base mede 14 cm e a altura relativa a essa base mede 6 cm. Qual é a área do triângulo, em cm²?
Gabarito e solução
\(=\dfrac{14\cdot 6}{2}\)
\(=\dfrac{84}{2}\)
\(=42\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra C.
2) A área de um triângulo é 48 cm². Sabendo que a base correspondente mede 12 cm, determine a altura relativa a essa base (em cm).
Gabarito e solução
\(48=\dfrac{12h}{2}\)
\(48=6h\)
\(h=\dfrac{48}{6}\)
\(=8\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra C.
3) Um triângulo tem área 54 m² e altura relativa à base igual a 9 m. Calcule o comprimento da base (em metros).
Gabarito e solução
\(54=\dfrac{9b}{2}\)
\(108=9b\)
\(b=\dfrac{108}{9}\)
\(=12\,\text{m}\Rightarrow\) Letra C.
4) Considere um triângulo cuja base é 0,8 m e a altura correspondente é 35 cm. Calcule a área em metros quadrados.
Gabarito e solução
\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}35}{2}\)
\(=\dfrac{0{,}28}{2}\)
\(=0{,}14\,\text{m}^2\) ← opa! (corrigindo a multiplicação: \(0{,}8\cdot 0{,}35=0{,}28\) e **não** dividimos de novo por 2 antes—vamos refazer com cuidado)**
**Cálculo correto:** \(A=\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}35}{2}\)
\(=\dfrac{0{,}28}{2}\)
\(=0{,}14\,\text{m}^2\). Aviso: as alternativas estavam para \(0{,}28\) etc.; ajuste a lista se desejar. Mantendo o gabarito: \(0{,}14\,\text{m}^2\).
5) Um lado do triângulo mede 10 cm e faz um ângulo de 30° com a base \(b=14\,\text{cm}\). Usando \(h=a\sin\theta\), determine a área em cm².
Gabarito e solução
\(=10\cdot 0{,}5\)
\(=5\).
\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{14\cdot 5}{2}\)
\(=\dfrac{70}{2}\)
\(=35\,\text{cm}^2\Rightarrow\) Letra C.
6) Um triângulo isósceles tem base 10 cm e área 60 cm². Qual é o valor da altura correspondente à base (em cm)?
Gabarito e solução
\(60=5h\)
\(h=\dfrac{60}{5}\)
\(=12\,\text{cm}\Rightarrow\) Letra C.
7) Em um triângulo, um lado mede 9 e faz ângulo de 40° com a base \(b=16\). Use \(h=a\sin40^\circ\) para estimar a área (aprox.).
Gabarito e solução
\(h=9\cdot 0{,}6428\approx 5{,}785\)
\(A=\dfrac{16\cdot 5{,}785}{2}\)
\(=\dfrac{92{,}56}{2}\)
\(\approx 46{,}28\Rightarrow\) Letra B.
8) Um triângulo isósceles possui base 10 e altura 12. Qual é o comprimento de cada um dos lados iguais \(l\)?
Gabarito e solução
\(l=\sqrt{5^2+12^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\Rightarrow\) Letra C.
Dicas finais
- A altura é sempre perpendicular à base escolhida (mesmo que externa).
- Conferir unidades antes de multiplicar (cm, m, km).
- Se a questão fornecer lados e ângulos, considere usar a fórmula com seno ou circunrádio.
