Guia prático
Avaliação de Investimentos
VPL, TIR, payback simples/descontado, índice de lucratividade (PI) e MIRR. Conecte com fluxo de caixa, juros compostos, equivalência de taxas, taxa real e séries de pagamentos.
Conceitos básicos
Fluxo de caixa e taxa
Um projeto é um fluxo de caixa \( \{(t_k,F_k)\} \) com \(F_0\) geralmente negativo (investimento) e \(F_k\) posteriores positivos/negativos. Avaliamos a atratividade do projeto em uma taxa de desconto \(i\) coerente com o risco e a periodicidade (veja equivalência de taxas).
Quando houver inflação relevante, use taxa real ou trabalhe em termos nominais de modo consistente.
Regra de ouro (periodicidade): alinhe a unidade de tempo da taxa com a linha do tempo do projeto
(meses ↔ taxa mensal, anos ↔ taxa anual). Se precisar mudar a base, converta com
equivalência de taxas.
Arredondamento: resultados financeiros com 2 casas decimais; taxas intermediárias, quando exibidas, com até 4 casas (ex.: TIR = 1,5875% a.m.).
Arredondamento: resultados financeiros com 2 casas decimais; taxas intermediárias, quando exibidas, com até 4 casas (ex.: TIR = 1,5875% a.m.).
Critérios de avaliação
VPL (Valor Presente Líquido)
\[
\boxed{VPL = \sum_{k=0}^{n} \frac{F_k}{(1+i)^{\,k}}}
\]
Decisão: \(VPL>0\) ⇒ cria valor; entre projetos independentes, aceite todos com \(VPL>0\). Entre
mutuamente exclusivos, prefira o maior \(VPL\).
O VPL embute a taxa de oportunidade e funciona bem com tamanhos e prazos diferentes.
TIR (Taxa Interna de Retorno)
\[
\text{TIR} = r \ \text{tal que}\ \sum_{k=0}^{n} \frac{F_k}{(1+r)^{\,k}} = 0.
\]
Decisão: \( \text{TIR}>i \) ⇒ projeto atrativo.
Cautelas sobre a TIR:
- Se o fluxo tem múltiplas mudanças de sinal, podem existir TIRs múltiplas (ou nenhuma). Prefira VPL e MIRR.
- Para comparar TIRs em bases diferentes, converta-as com equivalência de taxas.
- TIR ignora a escala absoluta do investimento; para projetos mutuamente exclusivos, priorize o VPL.
Payback (simples e descontado)
Payback simples: tempo até que os fluxos acumulados igualem o investimento, sem desconto.
Payback descontado: tempo até o investimento ser recuperado em valor presente usando a taxa \(i\).
Use como métrica de liquidez/risco — não mede criação de valor no longo prazo.
Índice de lucratividade (PI)
\[
\boxed{PI=\frac{\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\max(F_k,0)}{(1+i)^{\,k}}}{|F_0|}}
\]
Interpretação: \(PI>1\) ⇒ valor presente dos benefícios supera o investimento.
Fórmula alternativa: se você já calculou o VPL no presente, pode usar \(PI=\dfrac{VPL+|F_0|}{|F_0|}\). As duas expressões são consistentes quando todos os fluxos estão na mesma data.
MIRR (TIR modificada)
\[
\boxed{\text{MIRR}=\left(\frac{FV^{+}(j)}{PV^{-}(f)}\right)^{\!1/n}-1}
\]
onde \(PV^{-}(f)\) é o valor presente dos desembolsos à taxa de financiamento \(f\) e
\(FV^{+}(j)\) é o valor futuro (na data final) dos recebimentos reinvestidos à taxa \(j\).
Procedimento prático:
- Traga todos os desembolsos (inclusive após \(t=0\)) para \(t=0\) a \(f\) ⇒ compõem \(PV^{-}(f)\).
- Leve todas as entradas para o período final \(n\) a \(j\) ⇒ compõem \(FV^{+}(j)\).
- Aplicar a fórmula acima. A MIRR evita TIR múltipla e supõe hipóteses de reinvestimento/financiamento realistas.
Exemplos passo a passo
- E1. VPL mensal — \(i=1{,}5\%\ a.m.\). Fluxo: \(F_0=-\RS\,5.000\), \(F_1=F_2=F_3=F_4=\RS\,1.300\). Calcule o VPL.
Ver solução
\(VPL=-5000+\sum_{t=1}^{4}\dfrac{1300}{(1{,}015)^{t}}\approx \boxed{\RS\,10{,}70}.\)
Como o VPL é positivo, o projeto cria valor na taxa exigida. - E2. TIR mensal — Mesmos fluxos do E1. Encontre a TIR (mensal) que zera o VPL.
Ver solução
Resolver \( -5000+\sum_{t=1}^{4}\dfrac{1300}{(1+r)^t}=0 \Rightarrow r\approx \boxed{1{,}5875\%\ a.m.}\) (iteração numérica). Compare com a taxa de desconto convertida, se necessário. - E3. Payback simples vs. descontado — \(F_0=-\RS\,6.000\), \(F_t=\RS\,1.200\) para \(t=1,\dots\). Taxa \(i=1\%\ a.m.\). Compare os tempos.
Ver solução
Simples: \(6000/1200= \boxed{5\ \text{meses}}\). Descontado: após 5 meses \(PV\approx 5824{,}12\); faltam \(175{,}88\). No mês 6, \(PV_{6}\approx 1130{,}45\). Fração \(=175{,}88/1130{,}45\approx0{,}156\) ⇒ \(\boxed{5{,}16\ \text{meses}}\) (≈ 5 meses e 5 dias). - E4. Índice de lucratividade — \(i=1\%\ a.m.\). \(F_0=-\RS\,5.000\); quatro entradas de \(\RS\,1.700\) mensais. Calcule \(PI\).
Ver solução
\(PV^{+}=\sum_{t=1}^{4}\dfrac{1700}{(1{,}01)^t}\approx 6633{,}34\). \(PI=6633{,}34/5000\approx \boxed{1{,}3267}\ (>1)\). - E5. MIRR — \(F_0=-\RS\,4.000\); \(F_1=\RS\,1.000\), \(F_2=\RS\,1.500\), \(F_3=\RS\,2.000\). Financiamento \(f=1\%\ a.m.\), reinvestimento \(j=1{,}2\%\ a.m.\). Calcule a MIRR (mensal).
Ver solução
\(PV^{-}=4000\). \(FV^{+}=1000(1{,}012)^2+1500(1{,}012)^1+2000=4542{,}144\). \(\text{MIRR}=\big(4542{,}144/4000\big)^{1/3}-1\approx \boxed{4{,}328\%\ a.m.}\)
Erros comuns (e como evitar)
- Taxa incompatível com o período do fluxo. Converta com equivalência de taxas.
- Ignorar inflação em análises longas. Use taxa real ou mantenha tudo em termos nominais.
- Confiar apenas na TIR para projetos de tamanhos/prazos diferentes ou com sinais alternados — prefira o VPL e a MIRR.
- Somar valores em datas diferentes sem trazer à mesma data. Revise data focal.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e confira no gabarito. Consulte: fluxo de caixa, juros compostos, séries e equivalência de taxas.
- 1. \(i=2\%\ a.m.\). Fluxo: \(F_0=-\RS\,8.000\), \(F_1=F_2=F_3=\RS\,3.000\). Calcule o VPL.
- 2. Mesmos fluxos do item 1. Encontre a TIR (mensal).
- 3. \(F_0=-\RS\,10.000\); \(F_t=\RS\,2.500\) mensais. Calcule o payback simples e o descontado para \(i=1{,}5\%\ a.m.\).
- 4. \(i=1\%\ a.m.\). \(F_0=-\RS\,5.000\); \(F_1=\dots=F_4=\RS\,1.700\). Calcule \(PI\).
- 5. \(F_0=-\RS\,6.000\); \(F_1=\RS\,2.000\), \(F_2=\RS\,2.500\), \(F_3=\RS\,3.000\). Financiamento \(f=1\%\ a.m.\), reinvestimento \(j=1{,}3\%\ a.m.\). Calcule a MIRR.
- 6. Projetos mutuamente exclusivos na taxa \(i=1{,}8\%\ a.m.\): A: \((-7000, +3000, +3000, +2000)\); B: \((-7000, +1000, +3000, +4000)\). Qual tem maior \(VPL\)?
- 7. Converta \(i_{\text{efetivo,a.a.}}=26{,}82\%\) para taxa efetiva mensal.
- 8. Análise real: nominal \(i_n=2\%\ a.m.\), inflação \(0{,}6\%\ a.m.\). Fluxo nominal \((-4000, +1500, +1500, +1500)\). Calcule o \(VPL\) em termos reais (use \(i_{\text{real}}\)).
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- \(\boxed{\RS\,651{,}65}\).
- \(\text{TIR}\approx \boxed{6{,}1286\%\ a.m.}\).
- Simples: \(4\) meses. Descontado: \(\approx \boxed{4{,}16\ \text{meses}}\).
- \(\boxed{PI\approx 1{,}3267}\).
- \(\text{MIRR}\approx \boxed{8{,}126\%\ a.m.}\).
- \(VPL_A\approx \RS\,737{,}58\) e \(VPL_B\approx \RS\,668{,}71\) ⇒ escolha A.
- \(i_{a.m.}=(1{,}2682)^{1/12}-1\approx \boxed{2{,}000\%\ a.m.}\).
- \(i_{\text{real}}=\dfrac{1{,}02}{1{,}006}-1\approx 1{,}3917\%\ a.m.\); \(VPL_{\text{real}}\approx \boxed{\RS\,377{,}60}\).
Arredondamentos a 2 casas nos valores monetários e até 4 casas nas taxas intermediárias.
