Classificação de sistemas lineares (SPD, SI, SPI)
Classificar um sistema linear significa decidir se ele é possível e determinado (SPD), impossível (SI) ou possível e indeterminado (SPI). Nesta página você aprende os critérios práticos (proporcionalidade, determinante, posto/rank e Gauss), vê a interpretação geométrica e pratica com exemplos e exercícios. Para complementar: equação linear, solução de um sistema linear, sistemas escalonados (Gauss), método da adição e método da substituição.
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Resumo das regras SPD–SI–SPI, Rouché–Capelli, determinantes, Gauss/Gauss–Jordan e formas paramétricas. Ideal para revisão rápida antes de provas.
Quero o eBook Praticar no Banco de QuestõesDefinições e Regra de Rouché–Capelli
terminologia SPD: tem solução única. SI: não tem solução. SPI: tem infinitas soluções.
Rouché–Capelli Seja \(A\) a matriz dos coeficientes e \([A\mid\mathbf{b}]\) a matriz aumentada. Denotando \(r=\operatorname{rank}(A)\) e \(r_a=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])\) e \(n\) o número de incógnitas:
- \(r\ne r_a \Rightarrow\) SI (incompatível).
- \(r=r_a=n \Rightarrow\) SPD (solução única).
- \(r=r_a
SPI (infinitas soluções).
Para \(2\times2\), um atalho: se o determinante \(\det(A)\neq 0\) ⇒ SPD; se \(\det(A)=0\) analisar os termos independentes para decidir entre SI ou SPI.
Interpretação geométrica (2×2)
- SPD: duas retas com um único ponto de interseção.
- SI: retas paralelas distintas (nunca se cruzam).
- SPI: retas coincidentes (mesma reta).
Em \(3\times3\), pense em planos: um ponto (SPD), nenhum ponto comum (SI) ou uma reta/plano de soluções (SPI).
Exemplo 1 — SPD (determinante não nulo)
\(\begin{cases}3x+y=10\\ 2x-y=1\end{cases}\)
Classificar e resolver
\(A=\begin{bmatrix}3&1\\2&-1\end{bmatrix}\Rightarrow \det(A)=-3-2=-5\neq0\Rightarrow\) SPD. Da 1ª \(y=10-3x\). Na 2ª: \(2x-(10-3x)=1\Rightarrow5x=11\Rightarrow x=\tfrac{11}{5}\), \(y=\tfrac{17}{5}\).
Exemplo 2 — SI (ranks diferentes)
\(\begin{cases}x+y=2\\ x+y=3\end{cases}\)
Classificar
\(A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\) tem \(r=1\); aumentada \([A\mid b]\) tem \(r_a=2\) ⇒ SI.
Exemplo 3 — SPI (equações proporcionais)
\(\begin{cases}x-2y=3\\ 2x-4y=6\end{cases}\)
Classificar e descrever \(S\)
\(r=r_a=1
Exemplo 4 — \(3\times3\) SPD
\(\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x-y+z=7\\ -x+2y-z=0\end{cases}\)
Classificar e resolver
Eliminando (adição): (1)+(3) ⇒ \(3y=6\Rightarrow y=2\); (2)+(3) ⇒ \(x+y=7\Rightarrow x=5\); em (1): \(5+2+z=6\Rightarrow z=-1\). Solução única ⇒ SPD com \((5,2,-1)\).
Exemplo 5 — \(3\times3\) SPI
\(\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x+2y+2z=12\\ 3x+3y+3z=18\end{cases}\)
Classificar
Todas as equações são múltiplas ⇒ \(r=r_a=1<3\Rightarrow\) SPI. Ex.: \(x=6-y-z\) (do 1º plano) com dois parâmetros livres.
Exemplo 6 — \(3\times3\) SI
\(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=4\end{cases}\)
Classificar
As duas primeiras são paralelas (mesmo lado esquerdo, independentes diferentes) ⇒ \(r_a>r\) ⇒ SI.
Exercícios (com gabarito)
1) Classifique \(\{\,x+2y=7,\; 3x+6y=21\,\}\) e descreva \(S\).
Gabarito
Proporcionais ⇒ \(r=r_a=1
2) Classifique \(\{\,2x-y=4,\; 4x-2y=10\,\}\).
Gabarito
LHS proporcional mas RHS não ⇒ \(r\ne r_a\) ⇒ SI.
3) Classifique e resolva \(\{\,3x+2y=11,\; 5x-2y=9\,\}\).
Gabarito
\(\det\neq0\) ⇒ SPD. Somando: \(8x=20\Rightarrow x=2.5\). Em 1ª: \(7+2y=11\Rightarrow y=2\).
4) Para \(\begin{cases}x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\\ x+y+z=3\end{cases}\) determine \(r, r_a\) e a classe.
Gabarito
Somente uma equação independente ⇒ \(r=r_a=1<3\) ⇒ SPI.
5) \(\begin{cases}x-3y=2\\ 2x-6y=5\end{cases}\) é…?
Gabarito
Se duplicarmos a 1ª: \(2x-6y=4\neq5\) ⇒ SI.
6) \(\begin{cases}2x+3y=8\\ 4x+6y=16\\ -2x-3y=-8\end{cases}\).
Gabarito
Todas proporcionais ao 1º enunciado ⇒ \(r=r_a=1<2\) ⇒ SPI.
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Conclusão
Para classificar rapidamente: (i) em \(2\times2\) verifique determinante e proporcionalidades; (ii) em geral, use Rouché–Capelli (ranks) ou Gauss para escalonar e contar equações independentes. Depois, descreva o conjunto solução (ponto único, nenhum ou família paramétrica).
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