Combinação de Eventos em Probabilidade — união, interseção, complemento e Leis de Morgan

1) Conceitos Básicos

União de eventos — \(A \cup B\)

Ocorre quando acontece pelo menos um dos eventos \(A\) ou \(B\).

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) (inclusão–exclusão)

Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos (disjuntos), então \(P(A \cap B)=0\) e \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).

Interseção de eventos — \(A \cap B\)

Ocorre quando acontecem simultaneamente \(A\) e \(B\).

\( P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = P(B \mid A)\,P(A) \)

Se \(A\) e \(B\) forem independentes, então \(P(A \cap B)=P(A)\,P(B)\).

Complemento de um evento — \(A^c\)

Conjunto de resultados em que A não ocorre. Também é chamado de evento complementar.

\( P(A^c) = 1 – P(A) \)

Identidades úteis

\( (A^c)^c = A \), \( \Omega^c = \varnothing \).
Leis de De Morgan: \( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \) e \( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \).
Para três eventos: \(P(A\cup B\cup C)=\sum P – \sum P(\cap) + P(A\cap B\cap C)\).

2) Exemplos Resolvidos

Exemplo 1. Em uma turma, \(40\%\) praticam futebol (evento \(F\)), \(30\%\) praticam basquete (evento \(B\)) e \(12\%\) praticam ambos. Qual a probabilidade de um aluno praticar pelo menos um dos esportes?

Ver solução

Pela inclusão–exclusão:

\(P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\)

Logo, \(58\%\).

Exemplo 2. Lançam-se dois dados justos. Calcule \(P(\text{soma par e > 7})\).

Ver solução

Defina \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\). \(|\Omega|=36\).

\(A:\) 18 resultados (metade é par). \(B:\) somas \(8,9,10,11,12\) → \(5+4+3+2+1=15\) resultados. \(A\cap B:\) somas pares e >7 → \(8,10,12\) com \(5+3+1=9\) resultados. \(P(A\cap B)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\).

Como a pergunta já é a interseção, a resposta é \(25\%\).

Exemplo 3. Em um concurso, a probabilidade de um candidato acertar uma questão é \(0{,}7\). Qual a probabilidade de errar?

Ver solução

Complemento:

\(P(\text{erro})=1-0{,}7=0{,}3\) (30%).

3) Exercícios (com respostas)

Exercício 1. Em uma escola, \(P(M)=0{,}45\) (gostar de Matemática), \(P(F)=0{,}35\) (gostar de Física) e \(P(M\cap F)=0{,}20\). Qual \(P(M\cup F)\)?

Ver solução

\(P(M\cup F)=0{,}45+0{,}35-0{,}20=0{,}60\) (60%).

Exercício 2. Em 52 cartas, \(A=\{\text{naipe copas}\}\) e \(B=\{\text{cartas de figura}\}\) (J,Q,K de todos os naipes). Encontre \(P(A\cap B)\).

Ver solução

Em copas há 3 figuras (J♥, Q♥, K♥): \( |A\cap B|=3\).

\(P(A\cap B)=\dfrac{3}{52}\approx 0{,}0577\) (5,77%).

Exercício 3. Em uma pesquisa, \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}3\) e \(P(A\cap B)=0{,}1\). Calcule \(P(A^c\cup B^c)\).

Ver solução

Use De Morgan: \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\).

\(P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)=1-0{,}1=0{,}9\).

Exercício 4. Dois eventos independentes têm \(P(A)=0{,}6\) e \(P(B)=0{,}5\). Calcule \(P(A\cap B)\) e \(P(A\cup B)\).

Ver solução

\(P(A\cap B)=0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}30\).
\(P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}30=0{,}80\) (80%).

4) Leis de De Morgan (para eventos)

As Leis de De Morgan relacionam união, interseção e complemento de eventos e são úteis para transformar um problema em outro equivalente — muitas vezes mais simples.

Enunciado (forma conjuntista)

\[(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad\text{e}\qquad (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}\]

Em palavras: “não (A ou B)” equivale a “não A e não B”; e “não (A e B)” equivale a “não A ou não B”.

Forma probabilística

Aplicando as leis às probabilidades, obtemos:

\[ P\!\big((A \cup B)^{c}\big) = P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 – P(A \cup B) \] \[ P\!\big((A \cap B)^{c}\big) = P(A^{c} \cup B^{c}) = 1 – P(A \cap B) \] \[ \text{e} \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B). \]

Se \(A\) e \(B\) forem independentes, então \(P(A^{c} \cap B^{c}) = P(A^{c})\,P(B^{c}) = (1-P(A))(1-P(B))\).

Exemplo 1. Em uma turma, \(P(F)=0{,}40\) (futebol), \(P(B)=0{,}30\) (basquete) e \(P(F\cap B)=0{,}12\). Qual a probabilidade de um aluno não praticar nenhum dos dois esportes?

Ver solução

Primeiro, a união:

\(P(F\cup B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\).

Pelo complemento (De Morgan), “nenhum” é \((F\cup B)^c\):

\(P((F\cup B)^c)=1-0{,}58=0{,}42\) (42%).

Exemplo 2. Lançam-se dois dados. Seja \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\). Calcule \(P\big((A\cup B)^c\big)\) (soma ímpar e \(\le 7\)).

Ver solução

\(|\Omega|=36\). Temos \(P(A)=\tfrac{18}{36}=\tfrac{1}{2}\); \(P(B)=\tfrac{15}{36}=\tfrac{5}{12}\). \(A\cap B\): somas pares e \(>7\) ⇒ \(8,10,12\) com \(5+3+1=9\) resultados ⇒ \(P(A\cap B)=\tfrac{9}{36}=\tfrac{1}{4}\).

\(P(A\cup B)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{12}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{6}{12}+\tfrac{5}{12}-\tfrac{3}{12}=\tfrac{8}{12}=\tfrac{2}{3}\).

Assim, por De Morgan:

\(P\big((A\cup B)^c\big)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}\) (33,3%).

Exercício. Para eventos independentes \(A\) e \(B\) com \(P(A)=0{,}6\) e \(P(B)=0{,}5\), calcule a probabilidade de nenhum ocorrer.

Ver solução

“Nenhum” é \(A^{c}\cap B^{c}\). Com independência:

\(P(A^{c}\cap B^{c})=(1-0{,}6)(1-0{,}5)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}20\) (20%).

Dica: em muitos problemas, transformar “pelo menos um” em complemento de “nenhum” simplifica bastante os cálculos.

📚 Produtos e Materiais Exclusivos do Blog

Aprenda mais e acelere a revisão:

5) Lista de Exercícios — Combinação de Eventos

Resolva e clique para ver a solução detalhada. Use \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), complemento e Leis de De Morgan.

Questão 1. Dado \(P(A)=0{,}40\), \(P(B)=0{,}30\) e \(P(A\cap B)=0{,}12\), calcule \(P(A\cup B)\).

A) 0,52
B) 0,58
C) 0,60
D) 0,70
E) 0,28

Ver solução

\(P(A\cup B)=0{,}40+0{,}30-0{,}12=0{,}58\). Gabarito: B.

Questão 2. Se \(P(A)=0{,}65\), determine \(P(A^{c})\).

A) 0,25
B) 0,30
C) 0,35
D) 0,40
E) 0,45

Ver solução

\(P(A^{c})=1-P(A)=1-0{,}65=0{,}35\). Gabarito: C.

Questão 3. Eventos independentes com \(P(A)=0{,}50\) e \(P(B)=0{,}40\). Calcule \(P(A\cap B)\).

A) 0,10
B) 0,20
C) 0,25
D) 0,30
E) 0,90

Ver solução

Independentes: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}5\cdot 0{,}4=0{,}20\). Gabarito: B.

Questão 4. Se \(P(A)=0{,}60\), \(P(B)=0{,}50\) e \(P(A\cap B)=0{,}30\), calcule \(P(A\mid B)\).

A) 0,30
B) 0,50
C) 0,60
D) 0,75
E) 0,80

Ver solução

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}30}{0{,}50}=0{,}60\). Gabarito: C.

Questão 5. Em uma turma de 80 alunos, 50 praticam Matemática Olímpica, 35 Física e 20 ambos. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso praticar pelo menos um dos dois?

A) 75%
B) 80%
C) 81,25%
D) 85%
E) 90%

Ver solução

\(\dfrac{50+35-20}{80}=\dfrac{65}{80}=0{,}8125=81{,}25\%\). Gabarito: C.

Questão 6. Com os dados de Q1, calcule \(P\big((A\cup B)^{c}\big)\).

A) 0,32
B) 0,38
C) 0,40
D) 0,42
E) 0,48

Ver solução

\(P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-0{,}58=0{,}42\). Gabarito: D.

Questão 7. Se \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos, com \(P(A)=0{,}30\) e \(P(B)=0{,}45\), calcule \(P(A\cap B)\).

A) 0,00
B) 0,15
C) 0,30
D) 0,45
E) 0,75

Ver solução

Eventos disjuntos: \(P(A\cap B)=0\). Gabarito: A.

Questão 8. Dois dados honestos são lançados. Seja \(A\) “o 1º dado é par” e \(B\) “a soma é \(\ge 9\)”. Calcule \(P(A\cap B)\).

A) \( \dfrac{1}{12} \)
B) \( \dfrac{1}{9} \)
C) \( \dfrac{1}{6} \)
D) \( \dfrac{5}{36} \)
E) \( \dfrac{1}{4} \)

Ver solução

Favoráveis com 1º par: 1º=2 ⇒ nenhum; 1º=4 ⇒ (4,5),(4,6) (2); 1º=6 ⇒ (6,3),(6,4),(6,5),(6,6) (4). Total 6. \(|\Omega|=36\Rightarrow P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\). Gabarito: C.

Questão 9. Três eventos com \(P(A)=0{,}50\), \(P(B)=0{,}40\), \(P(C)=0{,}30\); \(P(A\cap B)=0{,}20\), \(P(A\cap C)=0{,}15\), \(P(B\cap C)=0{,}10\), \(P(A\cap B\cap C)=0{,}05\). Calcule \(P(A\cup B\cup C)\).

A) 0,70
B) 0,75
C) 0,80
D) 0,85
E) 0,90

Ver solução

Inclusão–exclusão (3 eventos): \(0{,}50+0{,}40+0{,}30-(0{,}20+0{,}15+0{,}10)+0{,}05=0{,}80\). Gabarito: C.

Questão 10. Para eventos independentes \(P(A)=0{,}30\) e \(P(B)=0{,}25\), qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um deles?

A) 0,425
B) 0,450
C) 0,475
D) 0,500
E) 0,525

Ver solução

Complemento de “nenhum”: \(1-(1-0{,}30)(1-0{,}25)=1-0{,}70\cdot 0{,}75=1-0{,}525=0{,}475\). Gabarito: C.

Gabarito

1) B 2) C 3) B 4) C 5) C 6) D 7) A 8) C 9) C 10) C

Conclusão

Dominar união, interseção e complemento permite montar probabilidades com segurança e resolver problemas reais. Reforce estudando probabilidade, definição de probabilidade, frequência relativa, eventos e experimentos aleatórios.