Lei Binomial da Probabilidade — Definição, Fórmula, Exemplos e Exercícios
Quando repetimos um experimento com dois resultados possíveis (sucesso/fracasso) e probabilidade constante, o número de sucessos segue uma distribuição binomial.
1) Quando usar a Lei Binomial?
Condições
- Ensaios fixos: número de repetições \(n\) é conhecido.
- Dois resultados: cada ensaio tem “sucesso” (prob. \(p\)) ou “fracasso” (prob. \(q=1-p\)).
- Independência: os ensaios são independentes (veja aqui).
- Probabilidade constante: \(p\) não muda ao longo dos ensaios.
Checklist rápido
- \(n\) fixo? ✅
- Dois resultados por ensaio (sucesso/fracasso)? ✅
- Ensaios independentes? ✅
- Probabilidade de sucesso \(p\) constante? ✅
Definição e fórmula
Se \(X\sim \text{Bin}(n,p)\) conta quantos sucessos ocorrem em \(n\) ensaios, então
\( \displaystyle P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\ldots,n. \)
Média e variância
\( \mathbb{E}[X]=np \quad\text{e}\quad \mathrm{Var}(X)=np(1-p). \)
2) Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 (moeda). Lance uma moeda honesta \(n=10\) vezes. Qual \(P(X=6)\), onde \(X\) é o número de caras?
Ver solução
\(X\sim\text{Bin}(10,0{,}5)\).
\(P(X=6)=\binom{10}{6}(0{,}5)^{10}=210/1024 \approx 0{,}205.\)
Exemplo 2 (qualidade). Uma peça é defeituosa com probabilidade \(p=0{,}02\). Em \(n=20\) peças independentes, qual \(P(\text{nenhuma defeituosa})\)?
Ver solução
\(X\sim\text{Bin}(20,0{,}02)\). Precisamos \(P(X=0)=(1-0{,}02)^{20}=0{,}98^{20} \approx 0{,}668.\)
Exemplo 3 (ao menos). Em um quiz de múltipla escolha com 5 questões independentes e probabilidade de acerto \(p=0{,}6\) por questão, qual \(P(\text{acertar pelo menos 4})\)?
Ver solução
\(X\sim\text{Bin}(5,0{,}6)\).
\(P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)\approx 0{,}2592 + 0{,}07776 = 0{,}33696 \approx 0{,}337.\)
3) Técnicas que aparecem com a Binomial
Probabilidades acumuladas
Use complementos quando for mais curto somar “o resto”:
\(P(X\ge 1)=1-P(X=0) = 1-(1-p)^n.\)
Atalhos frequentes
\(P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\),
\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\),
\(P(X\text{ é par})=\dfrac{1-(1-2p)^n}{2}\) (quando útil em provas).
Conexões
Para modelar corretamente:
- Defina o evento “sucesso” com precisão.
- Verifique independência dos ensaios.
- Use a regra do produto para derivar casos simples.
- Espaço equiprovável? Veja aqui.
4) Exercícios Resolvidos
Exercício 1. Em \(n=8\) lançamentos de um dado honesto, considere sucesso = “sair número par” (\(p=1/2\)). Calcule \(P(X=5)\).
Ver solução
\(X\sim\text{Bin}(8,1/2)\).
\(P(X=5)=\binom{8}{5}(1/2)^8=56/256 \approx 0{,}219.\)
Exercício 2. Uma campanha tem taxa de clique \(p=0{,}04\) por impressão, independentes. Em \(n=50\) impressões, qual \(P(X\ge 1)\)?
Ver solução
Complemento: \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}04)^{50}=1-0{,}96^{50}\approx 1-0{,}129 \approx 0{,}871.\)
5) Lista de Exercícios (A–E)
Questão 1. Uma moeda viciada tem \(p=0{,}3\) para “cara”. Em \(n=7\) lançamentos, \(P(X=3)\) é:
- A) \(\binom{7}{3}0{,}3^3 0{,}7^4\)
- B) \(\binom{7}{3}0{,}7^3 0{,}3^4\)
- C) \(\binom{7}{4}0{,}3^3 0{,}7^4\)
- D) \(0{,}3^3\)
- E) \(0{,}7^4\)
Ver solução
Pela fórmula: \(\binom{7}{3}p^3(1-p)^4\). Gabarito: A.
Questão 2. Em \(n=12\) tentativas com \(p=0{,}25\), a média e a variância de \(X\) são:
- A) \( \mathbb{E}[X]=3,\ \mathrm{Var}(X)=2{,}25 \)
- B) \( \mathbb{E}[X]=4,\ \mathrm{Var}(X)=3 \)
- C) \( \mathbb{E}[X]=3,\ \mathrm{Var}(X)=2{,}8125 \)
- D) \( \mathbb{E}[X]=4,\ \mathrm{Var}(X)=4 \)
- E) \( \mathbb{E}[X]=2{,}5,\ \mathrm{Var}(X)=1{,}875 \)
Ver solução
\(np=12\cdot0{,}25=3\). \(np(1-p)=12\cdot0{,}25\cdot0{,}75=2{,}25\). Gabarito: A.
Questão 3. Uma fábrica tem probabilidade \(p=0{,}1\) de um item ser defeituoso. Em \(n=5\) itens, qual \(P(\text{no máximo 1 defeituoso})\)?
- A) \((0{,}9)^5\)
- B) \((0{,}9)^5 + 5\cdot 0{,}1(0{,}9)^4\)
- C) \(1-(0{,}9)^5\)
- D) \(1-5\cdot0{,}1(0{,}9)^4\)
- E) \(5\cdot0{,}1(0{,}9)^4\)
Ver solução
“No máximo 1” = \(P(X=0)+P(X=1)=(0{,}9)^5 + \binom{5}{1}(0{,}1)(0{,}9)^4\). Gabarito: B.
Questão 4. Em \(n=6\) ensaios com \(p=0{,}5\), \(P(X\ge 5)\) vale:
- A) \(\binom{6}{5}(1/2)^6 + \binom{6}{6}(1/2)^6\)
- B) \(\binom{6}{5}(1/2)^5 + \binom{6}{6}(1/2)^6\)
- C) \(1-(1/2)^6\)
- D) \(\binom{6}{5}(1/2)^6\)
- E) \(\binom{6}{6}(1/2)^5\)
Ver solução
\(P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6)=\left[\binom{6}{5}+\binom{6}{6}\right](1/2)^6=7/64\). Gabarito: A.
Questão 5. Um chute tem probabilidade \(p=0{,}7\) de acerto. Em \(n=4\) chutes, \(P(\text{ao menos 1 acerto})\) é:
- A) \(1-(0{,}3)^4\)
- B) \(1-(0{,}7)^4\)
- C) \(4\cdot0{,}7(0{,}3)^3\)
- D) \(\binom{4}{1}0{,}7(0{,}3)^3 + \cdots + \binom{4}{4}0{,}7^4\)
- E) \(0{,}7^4\)
Ver solução
Use complemento: \(1-P(X=0)=1-(1-0{,}7)^4=1-(0{,}3)^4\). Gabarito: A.
Gabarito
1) A 2) A 3) B 4) A 5) A
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Conclusão
A Lei Binomial modela contagens de sucesso em ensaios independentes com probabilidade constante. Combine-a com probabilidade condicional, a regra do produto e independência para resolver problemas clássicos e modernos de inferência.
