CONE – Geometria Espacial

Cone – Volume, Área Lateral e Área Total (Fórmulas e Exercícios)

CONE – Geometria Espacial

Volume, Área Lateral e Área Total (com exemplos e exercícios)

Cone circular reto com raio r, altura h e geratriz g; fórmulas V=πr²h/3, Aℓ=πrg e At=πr(g+r)
Resumo visual do cone circular reto – matematicaoje.blog

O que é um cone?

O cone circular reto é o sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Possui base circular de raio \(r\), altura \(h\) perpendicular à base e geratriz \(g\) (segmento da base ao vértice na superfície). Eles obedecem a \( g^2 = r^2 + h^2 \).

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📘 Fórmulas do Cone Circular Reto

Área da base: \( B = \pi r^{2} \)
Volume: \( V = \dfrac{1}{3}\,\pi r^{2} h \)
Área lateral: \( A_\ell = \pi r g \)
Área total: \( A_t = A_\ell + B = \pi r(g + r) \)
Relação pitagórica: \( g^{2} = r^{2} + h^{2} \)

Exemplo 1 (dados r e h)

Considere um cone com raio \( r=3\,\text{cm} \) e altura \( h=4\,\text{cm} \). Calcule \(g\), \(V\), \(A_\ell\) e \(A_t\).

\[ \begin{aligned} g &= \sqrt{r^2+h^2} \\ &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\,\text{cm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ &= \frac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 4 \\ &= \frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4 \\ &= 12\pi\ \text{cm}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_\ell &= \pi r g \\ &= \pi \cdot 3 \cdot 5 \\ &= 15\pi\ \text{cm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_t &= \pi r(g+r) \\ &= \pi \cdot 3 \cdot (5+3) \\ &= 3\pi \cdot 8 \\ &= 24\pi\ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

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Exemplos Adicionais

Exemplo 2 (descobrindo h a partir de Aℓ). Num cone, a área lateral é \( A_\ell = 30\pi\ \text{cm}^2 \) e o raio é \( r=5\,\text{cm} \). Encontre \(g\) e \(h\).

\[ \begin{aligned} A_\ell &= \pi r g \\ 30\pi &= \pi \cdot 5 \cdot g \\ g &= \frac{30\pi}{5\pi} \\ g &= 6\,\text{cm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} h &= \sqrt{g^{2}-r^{2}} \\ &= \sqrt{6^{2}-5^{2}} \\ &= \sqrt{36-25} \\ &= \sqrt{11}\,\text{cm} \end{aligned} \]

Exemplo 3 (descobrindo r a partir de V). O volume de um cone é \( V=96\pi\ \text{cm}^3 \) e a altura é \( h=6\,\text{cm} \). Calcule \(r\), \(g\) e \(A_t\).

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ 96\pi &= \frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 6 \\ 96\pi &= 2\pi r^{2} \\ r^{2} &= 48 \\ r &= 4\sqrt{3}\,\text{cm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} g &= \sqrt{r^{2}+h^{2}} \\ &= \sqrt{48+36} \\ &= \sqrt{84} \\ &= 2\sqrt{21}\,\text{cm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_t &= \pi r(g+r) \\ &= \pi \cdot 4\sqrt{3}\,\big(2\sqrt{21}+4\sqrt{3}\big) \\ &= 4\pi\sqrt{3}\,(2\sqrt{21}) + 4\pi\sqrt{3}\,(4\sqrt{3}) \\ &= 8\pi\sqrt{63} + 16\pi\cdot 3 \\ &= 24\pi\sqrt{7} + 48\pi\ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Exercícios de Múltipla Escolha

1. (Volume) Um cone tem raio \( r=6\,\text{cm} \) e altura \( h=8\,\text{cm} \). O volume é:

A) \(64\pi\ \text{cm}^3\)
B) \(96\pi\ \text{cm}^3\)
C) \(128\pi\ \text{cm}^3\)
D) \(144\pi\ \text{cm}^3\)
👀 Ver solução passo a passo
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ &= \frac{1}{3}\pi \cdot 6^{2}\cdot 8 \\ &= \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 \\ &= \frac{288}{3}\pi \\ &= 96\pi\ \text{cm}^3 \end{aligned} \]

Gabarito: B.

2. (Área lateral) Num cone com \( r=5\,\text{cm} \) e geratriz \( g=13\,\text{cm} \), a área lateral é:

A) \(50\pi\ \text{cm}^2\)
B) \(60\pi\ \text{cm}^2\)
C) \(65\pi\ \text{cm}^2\)
D) \(70\pi\ \text{cm}^2\)
👀 Ver solução passo a passo
\[ \begin{aligned} A_\ell &= \pi r g \\ &= \pi \cdot 5 \cdot 13 \\ &= 65\pi\ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Gabarito: C.

3. (Altura) Um cone tem área total \( A_t = 60\pi\ \text{cm}^2 \) e raio \( r=5\,\text{cm} \). Determine a altura \(h\).

A) \(2\sqrt{6}\,\text{cm}\)
B) \(3\sqrt{5}\,\text{cm}\)
C) \(4\,\text{cm}\)
D) \(5\,\text{cm}\)
👀 Ver solução passo a passo
\[ \begin{aligned} A_t &= \pi r(g+r) \\ 60\pi &= \pi \cdot 5 (g+5) \\ 60 &= 5(g+5) \\ g+5 &= 12 \\ g &= 7\,\text{cm} \\ h &= \sqrt{g^{2}-r^{2}} \\ &= \sqrt{7^{2}-5^{2}} \\ &= \sqrt{49-25} \\ &= \sqrt{24} \\ &= 2\sqrt{6}\,\text{cm} \end{aligned} \]

Gabarito: A.

Conclusão

Para cones circulares retos, guarde: \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\), \(A_\ell=\pi r g\), \(A_t=\pi r(g+r)\) e \(g^{2}=r^{2}+h^{2}\). Essas relações resolvem a imensa maioria das questões do ENEM e de concursos. Continue com:

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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