Acerca das operações entre números irracionais, julgue os itens a seguir, considerando que a e b sejam números irracionais (I) distintos.

I Se c = a + b, então, para todo a e b ∈ I, c é irracional.
II Se c = a x b, então, para todo a e b ∈ I, c é irracional.
III Se c = an, sendo n um número natural (N), então, para todo a ∈ I e para todo n ∈ N, c é irracional.

Assinale a opção correta.
Alternativas
A) Apenas o item I está certo.
B) Apenas o item II está certo.
C) Apenas o item III está certo.
D) Apenas os itens I e II estão certos.
E) Nenhum item está certo.

Solução em vídeo

Vamos analisar cada sobre o conjuntos numérico dos irracionais.

Item I: Se c = a + b, então, para todo a e b ∈ I , c é irracional.

Este item é falso. Embora a e b sejam irracionais, a soma de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional. Por exemplo, considere a = √2 e b = -√2. Ambos são irracionais, mas sua soma c = √2 + (-√2) = 0, que é um número racional. Portanto, nem sempre a soma de dois números irracionais é irracional.

Item II: Se c = a x b , então, para todo a e b ∈ I, c é irracional.

Este item também é falso. A multiplicação de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional. Por exemplo, considere a = √2 e b = √2. Ambos são irracionais, mas o produto c = √2 x √2 = 2, que é um número racional. Portanto, nem sempre o produto de dois números irracionais é irracional.

Item III: Se c = aⁿ, sendo n um número natural N, então, para todo a ∈ I e para todo n ∈ N, c é irracional.

Este item é falso. Se n = 2 e a = √2 , então c = (√2) ² = 2, que é um número racional. Portanto, não é garantido que c = aⁿ seja irracional para qualquer a irracional e qualquer n ∈ N.

Conclusão:

Nenhum dos itens está correto. Portanto, a resposta correta é:

Alternativa E) Nenhum item está certo.