Cunha Esférica
A cunha esférica é o sólido da geometria espacial obtido ao girar um fuso esférico, formando um setor da esfera delimitado por dois planos que passam pelo centro.
1) Definição
A cunha esférica é o sólido da esfera delimitado por:
- Dois planos que passam pelo centro da esfera e formam um ângulo \(\alpha\);
- A superfície esférica correspondente ao fuso esférico.
É análoga ao setor circular em 2D, só que no espaço tridimensional.
2) Volume da cunha esférica
O volume da cunha é proporcional ao ângulo central \(\alpha\):
Se o ângulo estiver em radianos:
3) Área da superfície do fuso associado
O fuso esférico associado à cunha tem área:
4) Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Calcule o volume de uma cunha esférica de raio \(R=6\) cm e ângulo central \(\alpha=90^\circ\).
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\(V=\frac{90}{360}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot6^3=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot216=72\pi\;\text{cm}^3\).
Exemplo 2: Determine a área do fuso correspondente a uma cunha esférica de raio \(R=10\) cm e ângulo \(\alpha=\pi/3\) rad.
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\(A_f=2\alpha R^2=2\cdot\frac{\pi}{3}\cdot100=\frac{200\pi}{3}\;\text{cm}^2\).
5) Aplicações
- Geografia: fusos horários e divisões da esfera terrestre.
- Astronomia: estudo de regiões esféricas no espaço celeste.
- Engenharia: cálculos em reservatórios e estruturas arredondadas.
6) Exercícios propostos
1. Uma cunha esférica de raio \(R=12\) cm tem ângulo central \(\alpha=60^\circ\). Calcule seu volume.
2. Em uma esfera de raio \(R=8\) cm, o fuso esférico associado a uma cunha tem ângulo central de \(\pi/2\) rad. Determine sua área.
7) Links relacionados
A cunha esférica é para a esfera o que o setor circular é para o círculo.
