Definição de Progressão Geométrica (P.G.)
A Progressão Geométrica (P.G.) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (q).
Fórmula de recorrência:
$$\begin{cases} a_1 = a \\ a_n = a_{n-1}\cdot q,\ \forall\, n\in\mathbb N,\ n\ge 2 \end{cases}$$
Exemplo: 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (aqui \(a_1=3\) e \(q=2\)).
Fórmula Geral
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$$
Exemplo Rápido
\(a_1=2\) e \(q=3\). O 5º termo é \(a_5=2\cdot3^{4}=2\cdot81=162\).
Classificação
- Crescente: \(q>1\)
- Decrescente: \(0
- Alternante: \(q<0\)
Exercícios Resolvidos (múltipla escolha)
Exercício 1
(ENEM adaptado) Uma P.G. tem \(a_1=3\) e \(q=2\). Qual é \(a_5\)?
- A) 24
- B) 48
- C) 60
- D) 96
\(a_5=3\cdot2^{4}=3\cdot16=48\).
Resposta: B) 48 ✅
Exercício 2
Calcule \(a_6\) da P.G. \(a_1=1\) e \(q=3\).
- A) 81
- B) 243
- C) 729
- D) 2187
\(a_6=1\cdot3^{5}=243\).
Resposta: B) 243 ✅
Exercício 3
Se \(a_2=10\) e \(a_4=40\), encontre \(q\).
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 5
\(a_4=a_2\cdot q^{2}\Rightarrow 40=10q^{2}\Rightarrow q^{2}=4\Rightarrow q=2\).
Resposta: A) 2 ✅
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