Derivação Implícita

Derivação Implícita — Guia Completo (versão responsiva, com y’)

Derivação Implícita — Guia Completo

Nem sempre é prático escrever \(y\) explicitamente como função de \(x\). A derivação implícita resolve isso: derivamos ambos os lados da equação tratando \(y\) como \(y(x)\) e, ao final, isolamos \(y’\).

Definição de Derivada Regras de Derivação Produto e Quociente Exponenciais Logarítmicas Trigonométricas Trigonométricas inversas

1) Quando usar derivação implícita?

Usamos quando \(y\) aparece misturado com \(x\) (não isolado):

\[ x^3+y^3=6xy,\qquad xy+x\sin y=1,\qquad e^{xy}=x+y \]

Dica: pense sempre em \(y=y(x)\). Toda vez que derivar um termo com \(y\), aplique a Regra da Cadeia.

2) Passo a passo

Derive ambos os lados em relação a \(x\), tratando \(y\) como \(y(x)\).
Reúna os termos com \(y’\) de um lado.
Fatore \(y’\) e isole-o.

\[ \text{Se}\;F(x,y)=0,\quad \frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x+F_y\,y’=0 \;\Rightarrow\; \boxed{\,y’=-\frac{F_x}{F_y}\,} \]

3) Exemplos resolvidos

Exemplo A — Circunferência \(x^2+y^2=9\)

Solução (detalhada)

\[ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(9) \;\Rightarrow\; 2x+2y\,y’=0 \;\Rightarrow\; \boxed{\,y’=-\frac{x}{y}\,} \]

Exemplo B — Produto misto \(x^3+y^3=6xy\)

Mostrar solução

\[ 3x^2+3y^2\,y’=6y+6x\,y’ \] \[ (3y^2-6x)\,y’=6y-3x^2 \;\Rightarrow\; \boxed{\,y’=\frac{2y-x^2}{\,y^2-2x\,}\,} \]

Exemplo C — Tangente implícita \(7y^2=4+xy^3\) no ponto \((3,2)\)

Mostrar solução

Derivando ambos os lados:

\[ 14y\,y’=y^3+3xy^2\,y’ \;\Rightarrow\; (14y-3xy^2)\,y’=y^3 \;\Rightarrow\; y’=\frac{y^3}{14y-3xy^2}=\frac{y^2}{14-3xy} \]

Avaliação em \((3,2)\):

\[ y’\big|_{(3,2)}=\frac{4}{14-18}=-1 \]

Equação da tangente: ponto \(A(3,2)\), inclinação \(m=-1\).

\[ y-2=-1(x-3)\;\Rightarrow\;\boxed{y=-x+5} \]

4) Padrões úteis (relembrando Regras)

\[ \frac{d}{dx}\big(\sin y\big)=\cos y\;y’,\quad \frac{d}{dx}\big(\cos y\big)=-\sin y\;y’,\quad \frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\;y’ \] \[ \frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{1}{y}\,y’,\quad \frac{d}{dx}\big(y^n\big)=n\,y^{n-1}\,y’ \]

Sempre que surgir \(y\) dentro de uma função, a derivada vem multiplicada por \(y’\) (Regra da Cadeia).

5) Exercícios

\(x^2+xy+y^2=7\)
\(\sin(xy)=x\)
\(x^2+\ln(y)=1\)
\(e^{xy}=x+y\)
\(x\cos y + y\sin x=1\)

Mostrar gabarito (derivadas \(y’\))

1) \(2x + x\,y’ + y + 2y\,y’ = 0 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{2x+y}{x+2y}\,}\)

2) \(\cos(xy)\,(x\,y’+y)=1 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-y\cos(xy)}{x\cos(xy)}\,}\)

3) \(2x+\dfrac{1}{y}y’=0 \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=-2xy\,}\)

4) \(e^{xy}(x\,y’+y)=1+y’ \Rightarrow \displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-ye^{xy}}{xe^{xy}-1}\,}\)

5) \(x\cos y + y\sin x=1\).
Derivando: \(\cos y – x\sin y\,y’ + y’\sin x + y\cos x = 0\).
\(\Rightarrow y'(\sin x – x\sin y)=-(\cos y + y\cos x)\).
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{\cos y + y\cos x}{x\sin y – \sin x}\,}\)

6) Para continuar estudando

Complete o estudo com os guias:

Definição de Derivada Regras de Derivação Produto e Quociente Exponenciais Logarítmicas Trigonométricas Trigonométricas inversas

Derivação Implícita — Lista Interativa

Abra a solução apenas quando precisar. Todas as derivadas foram conferidas. Para revisar teoria, veja os guias: Definição de Derivada, Regras de Derivação, Produto & Quociente.

Exercícios

1) Circunferência

Encontre \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) se \(x^2+y^2=9\).

Mostrar solução

\(\dfrac{d}{dx}(x^2+y^2)=\dfrac{d}{dx}(9)\)
\(2x+2y\,y’=0\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{x}{y}\,}\)

2) Produto misto

Calcule \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) em \(x^3+y^3=6xy\).

Mostrar solução

\(3x^2+3y^2y’=6y+6xy’\)
\((3y^2-6x)y’=6y-3x^2\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{2y-x^2}{\,y^2-2x\,}\,}\)

3) Seno implícito

Determine \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) se \(xy+x\sin y=1\).

Mostrar solução

\((xy)’=x\,y’+y,\quad (x\sin y)’=\sin y+x\cos y\,y’\)
\(x\,y’+y+\sin y+x\cos y\,y’=0\)
\(y'(x+x\cos y)=-(y+\sin y)\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{y+\sin y}{x(1+\cos y)}\,}\)

4) Exponencial implícita

Encontre \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) se \(e^{xy}=x+y\).

Mostrar solução

\(\dfrac{d}{dx}\big(e^{xy}\big)=e^{xy}(x\,y’+y),\quad (x+y)’=1+y’\)
\(e^{xy}(x\,y’+y)=1+y’\)
\((x e^{xy}-1)y’=1-y\,e^{xy}\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=\frac{1-y\,e^{xy}}{x\,e^{xy}-1}\,}\)

5) Correção — termo produto em \(x^2y+y^2=10\)

Calcule \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) se \(x^2y+y^2=10\).

Mostrar solução

\((x^2y)’=2xy+x^2y’,\quad (y^2)’=2y\,y’\)
\(2xy+x^2y’+2y\,y’=0\)
\((x^2+2y)y’=-2xy\)
\(\displaystyle \boxed{\,y’=-\frac{2xy}{x^2+2y}\,}\) ✔

6) Inclinação e reta tangente

Para \(7y^2=4+xy^3\), encontre \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \) e a inclinação no ponto \((3,2)\).

Mostrar solução

\(14y\,y’=y^3+3xy^2y’\)
\((14y-3xy^2)y’=y^3\)
\(\displaystyle y’=\frac{y^3}{14y-3xy^2}=\frac{y^2}{14-3xy}\)
No ponto \((3,2)\): \(\displaystyle y’=\frac{4}{14-18}=-1\) (inclinação).
Reta tangente em \((3,2)\): \(y-2=-1(x-3)\Rightarrow \boxed{y=-x+5}\).

Dica: ao derivar implicitamente, trate \(y\) como \(y(x)\) e aplique produto/quociente e a regra da cadeia quando necessário.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.