Derivadas do Produto e Quociente — Guia Completo
Aprenda as regras da derivada do produto e do quociente com explicações passo a passo, exemplos resolvidos e exercícios propostos. Para revisar os conceitos, veja também: Definição de Derivada e Regras de Derivação.
1) Derivada do Produto
Quando temos uma função definida pelo produto de duas funções deriváveis \(u(x)\) e \(v(x)\), usamos a fórmula:
\(\displaystyle (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’\)
Derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
2) Exemplos Resolvidos — Produto
Exemplo 1: \(f(x) = (x^2-2)(2x^5+4)\).
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Identifique: \(u = x^2-2\), \(v = 2x^5+4\).
\(u’ = 2x\), \(v’ = 10x^4\).
\(f'(x)=u’\cdot v + u\cdot v’ = (2x)(2x^5+4)+(x^2-2)(10x^4)\).
= \(4x^6+8x+10x^6-20x^4\).
Resposta: \(f'(x)=14x^6-20x^4+8x\).
Exemplo 2: \(f(x) = (x^4 – 3x)\left(\sqrt[5]{x^7} – 100\right)\).
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Identifique: \(u = x^4-3x\), \(v = \sqrt[5]{x^7}-100\).
\(u’ = 4x^3-3\), \(v’ = \dfrac{7}{5}x^{2/5}\).
\(f'(x) = u’\cdot v + u\cdot v’\).
= \((4x^3-3)\left(\sqrt[5]{x^7}-100\right)+(x^4-3x)\dfrac{7}{5}x^{2/5}\).
Resposta final simplificada: \(f'(x)=(4x^3-3)\left(\sqrt[5]{x^7}-100\right)+\dfrac{7}{5}(x^4-3x)x^{2/5}\).
3) Derivada do Quociente
Para funções definidas pelo quociente de \(u(x)\) e \(v(x)\), a fórmula é:
\(\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2}\)
Derivamos o numerador, multiplicamos pelo denominador, subtraímos o numerador vezes a derivada do denominador e dividimos tudo pelo quadrado do denominador.
4) Exemplos Resolvidos — Quociente
Exemplo 1: \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x-3}\).
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Exemplo 2: \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2x+1}\).
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5) Exercícios Propostos
Exercício 1. Derive \(f(x)=(3x^2+1)(x^3+2x)\).
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Exercício 2. Calcule \(f'(x)=\dfrac{2x^2+3}{x^2+1}\).
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6) Materiais Recomendados
– 📗 Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 8 — Limites, Derivadas e Integrais
– 📕 Coleção com 10 eBooks de Matemática
Lista de Exercícios — Derivada do Produto e do Quociente
Resolva e depois abra a solução. Para revisar teoria, consulte: Definição de Derivada e Regras de Derivação.
1) Regra do Produto — \((u\cdot v)’=u’v+uv’\)
1. \(f(x)=(x+1)(x+2)\)
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2. \(f(x)=(3x-5)(x^2+1)\)
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3. \(f(x)=x^2e^{x}\)
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4. \(f(x)=\ln x\cdot\sqrt{x}\ \ (x>0)\)
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5. \(f(x)=(x^3-2x+1)(2x^2+3)\)
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6. \(f(x)=(\sqrt{x}+1)(x^2-4x)\ \ (x>0)\)
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7. \(f(x)=(2x+3)\ln x\ \ (x>0)\)
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8. \(f(x)=e^{2x}\sin x\)
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9. \(f(x)=(x^2+1)\sqrt[3]{x^4-2x}\)
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10. \(f(x)=\ln x\cdot e^{3x}\ \ (x>0)\)
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11. \(f(x)=(\sqrt{x}+x^{-1})(x^2+1)\ \ (x>0)\)
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12. \(f(x)=(\tan x)(\sec x)\)
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2) Regra do Quociente — \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}\)
13. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}\)
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14. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+4}\ \ (x>0)\)
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15. \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\ \ (x>0)\)
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16. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}\ \ (x\neq0)\)
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17. \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x-1}\ \ (x\neq1)\)
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18. \(f(x)=\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{2x+1}\ \ (x>0)\)
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19. \(f(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}\ \ (x\neq0)\)
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20. \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x^2+1}\)
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21. \(f(x)=\dfrac{e^{2x}+\sqrt{x}}{\ln x}\ \ (x>0,\,x\neq1)\)
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22. \(f(x)=\dfrac{\tan x}{e^x}\)
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23. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3-2x}\ \ (x\neq0,\ x^2\neq2)\)
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24. \(f(x)=\dfrac{x\,e^x}{x^2+1}\)
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3) Desafios
25. Mostre que se \(f(x)=x\ln x\) então \(f'(x)=1+\ln x\) \((x>0)\).
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26. Calcule \(f'(x)=\dfrac{e^{x}\ln x}{x^2+1}\ \ (x>0)\).
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27. Prove com a regra do quociente que \(\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\) \((x\neq0)\).
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28. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x+1}\) no ponto \(x=1\).
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Precisa revisar a teoria?
Leia: Definição de Derivada e Regras de Derivação.
