Derivada de Funções Logarítmicas
Aprenda a derivar funções logarítmicas simples e compostas, com fórmulas, demonstrações passo a passo, exercícios e gabarito. Para revisar os conceitos básicos, consulte também o artigo sobre Derivada de Função Exponencial, Regras de Derivação e Definição de Derivada.
1) Funções logarítmicas simples
As fórmulas fundamentais para derivar logaritmos são:
\( \dfrac{d}{dx}\,\ln x = \dfrac{1}{x}, \quad x>0 \)
\( \dfrac{d}{dx}\,\log_a x = \dfrac{1}{x\,\ln a}, \quad x>0,\ a>0,\ a\neq1 \)
2) Funções logarítmicas compostas
Quando o logaritmo está aplicado a uma função \(u(x)\), usamos a regra da cadeia:
\( \dfrac{d}{dx}\,\ln(u(x)) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} \)
\( \dfrac{d}{dx}\,\log_a(u(x)) = \dfrac{u'(x)}{u(x)\,\ln a} \)
3) Exemplos resolvidos
Exemplo A — Função simples
Derive \(f(x)=\ln x\).
Mostrar solução
Defina \(\ln x=y \iff e^y=x\).
Derivando: \(e^y\dfrac{dy}{dx}=1\).
Substitua \(e^y=x\): \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}\).
Resultado: \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\).
Exemplo B — Base diferente de \(e\)
Derive \(f(x)=\log_2 x\).
Mostrar solução
Use mudança de base: \(\log_2 x=\dfrac{\ln x}{\ln2}\).
Logo, \(f'(x)=\dfrac{1}{x\ln2}\).
Exemplo C — Função composta
Derive \(f(x)=\ln(x^2+1)\).
Mostrar solução
Defina \(u=x^2+1\Rightarrow u’=2x\).
Então \(f'(x)=\dfrac{u’}{u}=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
Exemplo D — Base qualquer + composta
Derive \(f(x)=\log_5(3x+1)\).
Mostrar solução
Defina \(u=3x+1\Rightarrow u’=3\).
Logo, \(f'(x)=\dfrac{3}{(3x+1)\ln5}\).
4) Exercícios propostos
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}\ln(2x)\).
- Encontre \(f'(x)\) para \(f(x)=\log_3(x^2)\).
- Derive \(f(x)=\ln(\sqrt{x+1})\).
- Determine \(f'(x)\) para \(f(x)=\log_7(5x-4)\).
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}\ln\!\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)\).
Gabarito — Exercícios Propostos
Mostrar soluções
1) \(\boxed{\dfrac{1}{x}}\)
2) \(\boxed{\dfrac{2}{x\ln3}}\)
3) \(\boxed{\dfrac{1}{2(x+1)}}\)
4) \(\boxed{\dfrac{5}{(5x-4)\ln7}}\)
5) \(\boxed{\dfrac{x^2-1}{x(x^2+1)}}\)
6) Para estudar mais
Exercícios — Derivada de Funções Logarítmicas
20 questões do básico ao avançado. Clique em Mostrar solução para ver o passo a passo. Revisões úteis: Definição de Derivada · Regras de Derivação · Derivada de Função Exponencial
Parte 1 — Funções logarítmicas simples
1. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\ln x \).
Mostrar solução
Fórmula: \((\ln x)’=\dfrac{1}{x}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{x}\).
2. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\log_2 x \).
Mostrar solução
Derivando: \(\dfrac{d}{dx}\log_2 x=\dfrac{1}{x\ln2}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{x\ln2}\).
3. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\log_{10}(5x) \).
Mostrar solução
\((\ln(5x))’=\dfrac{1}{5x}\cdot 5=\dfrac{1}{x}\).
Logo: \(\dfrac{d}{dx}\log_{10}(5x)=\dfrac{1}{x\ln10}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{x\ln10}\).
4. Derive \( f(x)=\ln(7x) \).
Mostrar solução
Derivando: \(0+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}\) (domínio \(x>0\)).
Resposta: \(\dfrac{1}{x}\).
5. Determine \( \dfrac{d}{dx}\log_3\!\left(\dfrac{x}{2}\right) \).
Mostrar solução
\((\ln(x/2))’=\dfrac{1}{x/2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x}\).
Portanto: \(\dfrac{d}{dx}=\dfrac{1}{x\ln3}\) (domínio \(x>0\)).
Resposta: \(\dfrac{1}{x\ln3}\).
Parte 2 — Funções logarítmicas compostas
6. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\ln(x^2+4) \).
Mostrar solução
\((\ln u)’=\dfrac{u’}{u}=\dfrac{2x}{x^2+4}\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{x^2+4}\).
7. \( f(x)=\log_5(2x^2+1) \). Encontre \(f'(x)\).
Mostrar solução
\((\log_5 u)’=\dfrac{u’}{u\ln5}=\dfrac{4x}{(2x^2+1)\ln5}\).
Resposta: \(\dfrac{4x}{(2x^2+1)\ln5}\).
8. Derive \( f(x)=\ln\!\big(\sqrt{x^2+9}\big) \).
Mostrar solução
\((1/2)\cdot\dfrac{2x}{x^2+9}=\dfrac{x}{x^2+9}\).
Resposta: \(\dfrac{x}{x^2+9}\).
9. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\log_7(3x^3+2x+1) \).
Mostrar solução
\((\log_7 u)’=\dfrac{u’}{u\ln7}=\dfrac{9x^2+2}{(3x^3+2x+1)\ln7}\).
Resposta: \(\dfrac{9x^2+2}{(3x^3+2x+1)\ln7}\).
10. Derive \( f(x)=\ln\!\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}\right) \).
Mostrar solução
Derivada: \(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{1}{x-1}\).
Domínio: \(x>1\).
Resposta: \(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{1}{x-1}\).
Parte 3 — Aplicações
11. Para \(f(x)=\ln x\), determine \(f'(x)\) e interprete.
Mostrar solução
Interpretação: a taxa de variação é inversamente proporcional a \(x\).
Para \(x\) grande, a inclinação é pequena; para \(x\) pequeno, a inclinação cresce.
12. \(V(T)=\ln(T+1)\). Calcule \(\dfrac{dV}{dT}\).
Mostrar solução
\(V'(T)=\dfrac{u’}{u}=\dfrac{1}{T+1}\) (T>-1).
Resposta: \(\dfrac{1}{T+1}\).
13. \(P(t)=P_0\ln(kt+1)\). Determine \(P'(t)\).
Mostrar solução
\(P'(t)=P_0\cdot\dfrac{k}{kt+1}\).
Resposta: \( \dfrac{P_0k}{kt+1} \).
14. \(L(x)=\ln(3x+1)\). Inclinação da tangente em \(x=2\).
Mostrar solução
\(L'(2)=\dfrac{3}{7}\).
Resposta: \(\dfrac{3}{7}\).
15. Tangente a \(f(x)=\log_2(x^2+1)\) em \(x=1\).
Mostrar solução
\(f'(x)=\dfrac{1}{\ln2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}\).
\(m=f'(1)=\dfrac{1}{\ln2}\).
Equação: \(y-1=m(x-1)\Rightarrow y=\dfrac{x-1}{\ln2}+1\).
Resposta: \( y=\dfrac{x-1}{\ln2}+1 \).
Parte 4 — Desafios avançados
16. \( f(x)=\ln\!\left(\sqrt{\dfrac{x^2+4}{x^3-1}}\right) \). Calcule \(f'(x)\).
Mostrar solução
\(f'(x)=\dfrac12\left[\dfrac{2x}{x^2+4}-\dfrac{3x^2}{x^3-1}\right]\) (domínio: \(x>1\)).
Resposta: \(\dfrac{x}{x^2+4}-\dfrac{3x^2}{2(x^3-1)}\).
17. \( f(x)=\log_5\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{3x^2+1}\right)\). Encontre \(f'(x)\).
Mostrar solução
\(u=\dfrac{\sqrt{x}}{3x^2+1}\Rightarrow \ln u=\tfrac12\ln x-\ln(3x^2+1)\).
\((\ln u)’=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{6x}{3x^2+1}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{\ln5}\left(\dfrac{1}{2x}-\dfrac{6x}{3x^2+1}\right)\) (domínio \(x>0\)).
18. Derive \( f(x)=\ln\!\big((x^2+1)^3\big) \).
Mostrar solução
Derivando: \(3\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{6x}{x^2+1}\).
Resposta: \(\dfrac{6x}{x^2+1}\).
19. \( f(x)=\log_7\!\left(\dfrac{x^2+3}{x^2-3}\right)\). Calcule \(f'(x)\).
Mostrar solução
\(\ln u=\ln(x^2+3)-\ln(x^2-3)\).
Derivando: \(\dfrac{2x}{x^2+3}-\dfrac{2x}{x^2-3}\).
Resposta: \(\dfrac{1}{\ln7}\left(\dfrac{2x}{x^2+3}-\dfrac{2x}{x^2-3}\right)\) (domínio \(|x|>\sqrt{3}\)).
20. Mostre que, para \( f(x)=\ln x\cdot\ln(2x) \), vale \( f'(x)=\dfrac{\ln(2x)+\ln x}{x} \).
Mostrar solução
\(u’=\dfrac{1}{x},\ v’=\dfrac{1}{2x}\cdot2=\dfrac{1}{x}\).
\(f’=u’v+uv’=\dfrac{1}{x}\ln(2x)+\ln x\cdot\dfrac{1}{x}\).
\(f’=\dfrac{\ln(2x)+\ln x}{x}\) (domínio \(x>0\)).
Resposta: \(\dfrac{\ln(2x)+\ln x}{x}\).
