Derivadas de Funções Exponenciais
Neste guia veremos dois cenários: funções exponenciais simples (como \(e^x\) e \(a^x\)) e funções exponenciais compostas (como \(e^{u(x)}\) e \(a^{u(x)}\)). Para reforçar a base, consulte Definição de Derivada e Regras de Derivação.
1) Funções exponenciais simples
Chamamos de simples aquelas cuja forma é apenas \(a^x\) (com \(a>0,\ a\neq1\)) ou \(e^x\).
\( \dfrac{d}{dx} e^x = e^x \)
\( \dfrac{d}{dx} a^x = a^x \ln a \)
Exemplo A
Derive \(f(x)=e^x\).
Exemplo B
Derive \(g(x)=2^x\).
Exemplo C
Reta tangente a \(f(x)=e^x\) em \(x=0\)Queremos a reta que melhor aproxima o gráfico de \(f(x)=e^x\) no ponto \(x=0\). A inclinação da reta tangente é dada por \(m=f'(0)\). Consulte mais em inclinação da reta tangente.
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1) Ponto de tangência
\(f(0)=e^0=1\). Logo, o ponto é \(P=(0,1)\).
2) Inclinação da reta tangente
\((e^x)’=e^x \Rightarrow f'(0)=e^0=1\). A inclinação é \(m=1\). (Veja a explicação em inclinação da reta tangente.)
3) Equação ponto–inclinação
\(y-y_0=m(x-x_0)\) com \((x_0,y_0)=(0,1)\) e \(m=1\):
\(y-1=1(x-0)\)
\(\Rightarrow y=1+x\)
4) Verificação via limite
\(m=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1\).
Confirma-se que a tangente é \(y=1+x\).
5) Interpretação
Perto de \(x=0\), \(e^x\approx 1+x\). A reta é a melhor aproximação linear (expansão de Taylor de 1ª ordem).
Conclusão: \(\boxed{y=1+x}\)
2) Funções exponenciais compostas
Agora o expoente é uma função \(u(x)\). Aplicamos a regra da cadeia:
\( \big(e^{u(x)}\big)’ = u'(x) e^{u(x)} \)
\( \big(a^{u(x)}\big)’ = u'(x) a^{u(x)} \ln a \)
Exemplo D
Calcule a derivada de \(f(x)=e^{3x^2}\).
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Exemplo E
Calcule a derivada de \(f(x)=5^{\sqrt{x}}\), com \(x>0\).
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3) Exercícios propostos
- Derive \(f(x)=e^x\).
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}3^x\).
- Encontre a reta tangente a \(f(x)=e^x\) em \(x=1\).
- Derive \(f(x)=e^{2x+1}\).
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}\,4^{x^2}\).
- Mostre, a partir da definição, que \(\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln a\).
Gabarito — Exercícios Propostos
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1) \(\dfrac{d}{dx}e^x = \boxed{e^x}\).
2) \(\dfrac{d}{dx}3^x = \boxed{3^x\ln 3}\).
3) Tangente em \(x=1\): \(f(1)=e,\ f'(1)=e\). Equação: \(y-e=e(x-1)\Rightarrow \boxed{y=ex}\).
4) \(f'(x)=\boxed{2e^{2x+1}}\).
5) \(f'(x)=\boxed{2x\ln4\;4^{x^2}}\).
6) Pela definição: \(\boxed{\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln a}\).
4) Para estudar mais
Exercícios — Derivadas de Funções Exponenciais
Contas revisadas e soluções mais detalhadas. Para teoria, veja Definição de Derivada, Regras de Derivação e Produto e Quociente.
Parte A — Funções Exponenciais Simples
1. Calcule \( \dfrac{d}{dx}e^x \).
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Resposta final: \(e^x\).
2. Calcule \( \dfrac{d}{dx}2^x \).
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Aplicando com \(a=2\): \((2^x)’=2^x\ln2\).
Resposta final: \(2^x\ln 2\).
3. Inclinação da tangente a \(f(x)=e^x\) em \(x=2\).
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\(f'(x)=e^x\Rightarrow f'(2)=e^2\).
Resposta final: \(m=e^2\).
4. Reta tangente a \(f(x)=3^x\) em \(x=0\).
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Inclinação: \(f'(x)=3^x\ln3\Rightarrow f'(0)=\ln3\).
Equação ponto-inclinação: \(y-1=\ln3\,(x-0)\).
Resposta final: \(y=\ln3\,x+1\).
5. Compare as taxas de crescimento de \(e^x\) e \(5^x\) em \(x=1\).
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\( (5^x)’|_{x=1}=5\ln5\approx5\cdot1{,}609=8{,}047 \).
\(5^x\) cresce mais rápido que \(e^x\) em \(x=1\) porque \(5\ln5>e\).
Conclusão: taxa de \(5^x\) > taxa de \(e^x\) em \(x=1\).
Parte B — Funções Exponenciais Compostas
6. Derive \(f(x)=e^{2x}\).
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\((e^{u})’=u’ e^{u}\Rightarrow f'(x)=2e^{2x}\).
Resposta final: \(2e^{2x}\).
7. Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=e^{x^2}\).
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\((e^{u})’=u’ e^{u}\Rightarrow f'(x)=2x\,e^{x^2}\).
Resposta final: \(2x\,e^{x^2}\).
8. Determine \(f'(x)\) para \(f(x)=5^{3x+1}\).
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\((a^{u})’=u’a^{u}\ln a\Rightarrow f'(x)=3\cdot5^{3x+1}\ln5\).
Resposta final: \(3\ln5\;5^{3x+1}\).
9. Reta tangente a \(f(x)=e^{x^2+1}\) em \(x=0\).
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Derivada: \(f'(x)=e^{x^2+1}\cdot(2x)\Rightarrow f'(0)=0\).
Inclinação \(m=0\Rightarrow\) tangente horizontal no ponto.
Equação: \(y-e=0\cdot(x-0)\Rightarrow\) y=e.
Resposta final: \(y=e\).
10. Prove que \(\dfrac{d}{dx}(2^{x^2})=2^{x^2}\cdot2x\ln2\).
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\((a^{u})’=u’a^{u}\ln a\Rightarrow \dfrac{d}{dx}(2^{x^2})=2x\ln2\cdot 2^{x^2}\).
Resposta final: \(2x\ln2\;2^{x^2}\).
Parte C — Aplicações
11. \(M(t)=M_0 e^{0{,}05t}\). Determine \(M'(t)\).
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\(M'(t)=u’ e^{u}\cdot M_0=0{,}05\,M_0 e^{0{,}05t}\).
Escrevendo em função de \(M(t)\): \(M'(t)=0{,}05\,M(t)\).
Resposta final: \(0{,}05\,M(t)\).
12. \(P(t)=200\cdot 3^t\). Encontre \(P'(2)\).
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Avaliando em \(t=2\): \(P'(2)=200\cdot 9\ln3=1800\ln3\).
Aproximação: \(\ln3\approx1{,}098612\Rightarrow P'(2)\approx1977{,}50\).
Resposta final: \(1800\ln3\approx1977{,}5\).
13. Encontre o ponto onde \(f(x)=e^x\) tem inclinação \(10\).
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Resolver \(e^x=10\Rightarrow x=\ln10\).
Ordenada: \(y=f(\ln10)=e^{\ln10}=10\).
Resposta final: \((\ln10,\;10)\).
14. Mostre que a tangente em \(x=0\) aproxima \(e^x\) para \(x\) pequeno.
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Linearização em \(0\): \(L(x)=1+x\).
Erro: \(e^x-L(x)=\dfrac{x^2}{2!}+O(x^3)\Rightarrow\) vai a zero mais rápido que \(x\).
Conclusão: para \(|x|\ll1\), \(e^x\approx1+x\).
15. Calcule \( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x e^x}{e^x+1}\right) \).
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\(u’=e^x+xe^x=e^x(1+x)\).
\(v’=e^x\).
Regra do quociente: \(f’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}\).
Substitua: \(f’=\dfrac{e^x(1+x)(e^x+1)-xe^x\cdot e^x}{(e^x+1)^2}\).
Expanda o numerador: \(e^{2x}(1+x)+e^x(1+x)-x e^{2x}\).
Agrupe \(e^{2x}\): \([e^{2x}(1+x)-xe^{2x}]=e^{2x}\).
Numerador vira: \(e^{2x}+e^x(1+x)=e^x(e^x+1+x)\).
Resposta final: \(f'(x)=\dfrac{e^x\big(e^x+1+x\big)}{(e^x+1)^2}\).
Referências rápidas
Definição de Derivada · Regras de Derivação · Produto e Quociente
