Derivadas das Funções Trigonométricas

Derivadas das Funções Trigonométricas — Fórmulas, Exemplos e Exercícios

Derivadas das Funções Trigonométricas

Este guia reúne as fórmulas essenciais e a intuição das derivadas trigonométricas, com exemplos e exercícios. Se você está começando, vale revisar a Definição de Derivada e as Regras de Derivação. Para composições com produtos/razões, consulte Derivadas do Produto e Quociente.

1) Fórmulas básicas (argumento simples)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cos x]=-\,\sin x\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cot x]=-\,\csc^2 x\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\,\tan x\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\csc x]=-\,\csc x\,\cot x\)

Restrições de domínio: \(\tan x\) e \(\sec x\) não estão definidas em \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\); \(\cot x\) e \(\csc x\) não estão definidas em \(x=k\pi\) (com \(k\in\mathbb{Z}\)).

2) Argumento composto \(u(x)\) (regra da cadeia)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sin u]=(\cos u)\,u’\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cos u]=-(\sin u)\,u’\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\tan u]=\sec^2 u\;u’\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cot u]=-\,\csc^2 u\;u’\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sec u]=\sec u\,\tan u\;u’\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\csc u]=-\,\csc u\,\cot u\;u’\)

Em problemas com produtos ou quocientes de funções trigonométricas (por exemplo \(\sin x\cdot \cos x\) ou \(\dfrac{\sin u}{\cos u}\)), use também as regras específicas apresentadas em Produto e Quociente.

Em cursos de Cálculo, é comum relacionar trigonometria às representações com exponenciais complexas. Por isso, estudar Derivada de Função Exponencial e Derivada de Funções Logarítmicas ajuda a consolidar conexões entre esses mundos.

3) Exemplos resolvidos

Exemplo A — Soma simples

Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\sin x+\cos x\).

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\((\sin x)’=\cos x\).
\((\cos x)’=-\sin x\).
\(f'(x)=\cos x-\sin x\).

Exemplo B — Função composta

Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\tan(3x)\).

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Seja \(u(x)=3x\Rightarrow u'(x)=3\).
\((\tan u)’=\sec^2 u\cdot u’\Rightarrow f'(x)=\sec^2(3x)\cdot 3=3\sec^2(3x)\).

Exemplo C — Produto trigonométrico

Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\sin x\cdot\cos x\).

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Produto: \(u=\sin x,\ v=\cos x\).
\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=u’v+uv’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x\).
(Também \(=\cos(2x)\) pela identidade trigonométrica.)

Exemplo D — Reta tangente

Encontre a reta tangente à \(g(x)=\cos x\) no ponto \(x=0\).

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\(g(0)=\cos 0=1\).
\(g'(x)=-\sin x\Rightarrow g'(0)=0\).
Equação ponto–inclinação: \(y-1=0\cdot(x-0)\Rightarrow \boxed{y=1}\).

4) Exercícios propostos

Calcule \(\dfrac{d}{dx}\big[\sin x\cdot\cos x\big]\).
Derive \(h(x)=\sec x+\tan x\).
Calcule \(\dfrac{d}{dx}\big[\cot(5x)\big]\).
Encontre a equação da reta tangente à \(p(x)=\cos x\) no ponto \(x=0\).
Mostre que \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)=\sec^2 x\).

Se precisar relembrar conceitos, visite a Definição de Derivada e a coletânea de Regras de Derivação.

5) Gabarito

Mostrar respostas

1) \(\dfrac{d}{dx}[\sin x\cos x]=\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)\).

2) \(h'(x)=\sec x\tan x+\sec^2 x\).

3) \(\dfrac{d}{dx}[\cot(5x)]=-\,5\,\csc^2(5x)\).

4) \(p'(x)=-\sin x\Rightarrow p'(0)=0\). Tangente: \(\boxed{y=1}\).

5) \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\) pelo quociente: \(\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\sec^2x\).

6) Leitura complementar

Exercícios Interativos — Derivadas de Funções Trigonométricas (com domínios)

Exercícios — Derivadas de Funções Trigonométricas

25 questões do básico ao avançado. Clique em Mostrar solução para ver o passo a passo. Para revisar teoria: Definição de Derivada, Regras de Derivação e Produto e Quociente.

Parte 1 — Funções trigonométricas simples

1. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin x] \).

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Fórmula básica: \( (\sin x)’=\cos x \).
Resposta: \(\cos x\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

2. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\cos x] \).

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Fórmula básica: \( (\cos x)’=-\sin x \).
Resposta: \(-\sin x\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

3. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan x] \).

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Fórmula básica: \( (\tan x)’=\sec^2 x \).
Resposta: \(\sec^2 x\).

Domínio: \(x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (assíntotas da tangente).

4. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\cot x] \).

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Fórmula básica: \( (\cot x)’=-\csc^2 x \).
Resposta: \(-\csc^2 x\).

Domínio: \(x\neq k\pi\) (assíntotas da cotangente).

5. Derive \( f(x)=\sec x + \csc x \).

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\( (\sec x)’=\sec x\tan x \).
\( (\csc x)’=-\csc x\cot x \).
\( f'(x)=\sec x\tan x – \csc x\cot x \).
Resposta: \(\sec x\tan x – \csc x\cot x\).

Domínio: \(\sec x\) e \(\tan x\) indefinidas em \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\); \(\csc x\) e \(\cot x\) indefinidas em \(x=k\pi\).

Parte 2 — Funções trigonométricas compostas

6. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin(3x)] \).

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\(u=3x \Rightarrow u’=3\).
\((\sin u)’=\cos u \cdot u’ \Rightarrow 3\cos(3x)\).
Resposta: \(3\cos(3x)\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

7. Derive \( f(x)=\cos(5x+1) \).

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\(u=5x+1 \Rightarrow u’=5\).
\((\cos u)’=-\sin u \cdot u’=-5\sin(5x+1)\).
Resposta: \(-5\sin(5x+1)\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

8. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan(2x^2)] \).

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\(u=2x^2 \Rightarrow u’=4x\).
\((\tan u)’=\sec^2 u \cdot u’ \Rightarrow 4x\,\sec^2(2x^2)\).
Resposta: \(4x\,\sec^2(2x^2)\).

Domínio: \(2x^2\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (onde \(\tan\) é indefinida).

9. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\csc(4x)] \).

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\(u=4x \Rightarrow u’=4\).
\((\csc u)’=-\csc u\cot u \cdot u’ \Rightarrow -4\,\csc(4x)\cot(4x)\).
Resposta: \(-4\,\csc(4x)\cot(4x)\).

Domínio: \(4x \neq k\pi \Rightarrow x\neq \dfrac{k\pi}{4}\) (zeros do \(\sin\)).

10. Derive \( f(x)=\sec(\sqrt{x}) \).

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\(u=\sqrt{x} \Rightarrow u’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) (para \(x>0\)).
\((\sec u)’=\sec u\tan u \cdot u’ \Rightarrow \dfrac{\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\).
Resposta: \( \dfrac{\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \).

Domínio: \(x\ge 0\) para \(\sqrt{x}\); além disso, \(\cos(\sqrt{x})\neq0\) (para \(\sec\) definida). Para derivada, assuma \(x>0\).

Parte 3 — Produtos e quocientes

11. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin x \cdot \cos x] \).

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Produto: \(u=\sin x,\ v=\cos x\).
\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=u’v+uv’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\).
\(f’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)\).
Resposta: \(\cos^2 x-\sin^2 x\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

12. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan x \cdot \sec x] \).

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Produto: \(u=\tan x,\ v=\sec x\).
\(u’=\sec^2 x,\ v’=\sec x\tan x\).
\(f’=u’v+uv’=\sec^2 x\,\sec x + \tan x(\sec x\tan x)\).
\(f’=\sec^3 x + \sec x\,\tan^2 x\).
Resposta: \(\sec^3 x+\sec x\,\tan^2 x\).

Domínio: \(x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (assíntotas de \(\tan\) e \(\sec\)).

13. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right) \).

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Quociente: \(u=\sin x,\ v=\cos x\).
\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=\dfrac{u’v-u v’}{v^2}=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}\).
\(f’=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\sec^2 x\).
Resposta: \(\sec^2 x\).

Domínio: \(\cos x\neq 0 \Rightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\).

14. Derive \( f(x)=\dfrac{\tan(3x)}{\sec(3x)} \).

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Simplifique: \(\dfrac{\tan(3x)}{\sec(3x)}=\tan(3x)\cdot\cos(3x)=\sin(3x)\).
Derive: \( (\sin(3x))’=3\cos(3x) \).
Resposta: \(3\cos(3x)\).

Domínio: \(\sec(3x)\neq 0 \Rightarrow \cos(3x)\neq 0\). A forma simplificada \(\sin(3x)\) é definida para todo \(x\in\mathbb{R}\).

15. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}\right) \).

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\(\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}=\dfrac{1/\cos^2 x}{\sin x/\cos x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\,\csc x\).
Produto: \( (\sec x\,\csc x)’=(\sec x)’\csc x+\sec x(\csc x)’\).
\( (\sec x)’=\sec x\tan x \), \( (\csc x)’=-\csc x\cot x \).
\( f’=\sec x\csc x(\tan x-\cot x) \).
Resposta: \(\sec x\,\csc x\,(\tan x-\cot x)\).

Domínio: \(\tan x\neq 0\) e \(\cos x\neq 0\) na forma original; equivalente a \(\sin x\neq 0\) e \(\cos x\neq 0\).

Parte 4 — Aplicações

16. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\sin x\) em \(x=\dfrac{\pi}{6}\).

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\(y_0=f(\pi/6)=\sin(\pi/6)=\tfrac12\).
Inclinação: \(m=f'(x)=\cos x \Rightarrow m=\cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt3}{2}\).
Equação: \( y-\tfrac12=\tfrac{\sqrt3}{2}\Big(x-\tfrac{\pi}{6}\Big) \).
Resposta: \( y=\tfrac{\sqrt3}{2}\,x-\tfrac{\sqrt3\,\pi}{12}+\tfrac12 \).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

17. Para \(g(x)=\cos x\), determine os pontos onde a tangente é horizontal.

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Horizontal \(\Rightarrow g'(x)=0\).
\(g'(x)=-\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\).
Pontos: \((k\pi,\cos(k\pi))=(k\pi,(-1)^k)\).
Resposta: \(x=k\pi\); pontos \((k\pi,(-1)^k)\).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

18. Ache os pontos de inclinação máxima de \(f(x)=\sin(2x)\).

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\(f'(x)=2\cos(2x)\).
Máxima inclinação quando \(|\cos(2x)|=1\) ⇒ \(\cos(2x)=\pm1\).
Por exemplo, \(\cos(2x)=1\Rightarrow x=\pi k\). Nessas abscissas, \(f'(x)=\pm 2\).
Pontos: \((\pi k,0)\) para o caso \(\cos(2x)=1\).
Resposta: inclinação máxima em \(x=\pi k\) (valor \(|f’|=2\)).

Domínio: \(x\in\mathbb{R}\).

19. Uma onda \(h(t)=5\sin(2t)\). Encontre \(\dfrac{dh}{dt}\).

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\(h'(t)=5\cdot(\sin(2t))’=5\cdot 2\cos(2t)=10\cos(2t)\).
Resposta: \(10\cos(2t)\).

Domínio: \(t\in\mathbb{R}\).

20. Pêndulo: \(\theta(t)=\cos(3t)\). Calcule \(\dfrac{d\theta}{dt}\).

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\(\theta'(t)=-(\sin(3t))\cdot 3=-3\sin(3t)\).
Resposta: \(-3\sin(3t)\).

Domínio: \(t\in\mathbb{R}\).

Parte 5 — Desafios avançados

21. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\ln(\tan x)] \) (onde \(\tan x>0\)).

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Cadeia: \((\ln u)’=\dfrac{u’}{u}\) com \(u=\tan x\).
\(u’=\sec^2 x \Rightarrow f’=\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\,\csc x\).
Resposta: \(\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}=\sec x\,\csc x\).

Domínio: \(\tan x>0\) e \(\sin x\cos x\neq 0\) ⇒ \(x\neq k\pi\) e \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\).

22. Derive \( f(x)=\arcsin(\sin x) \) para \( x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \).

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Nesse intervalo, \(\arcsin\) é inversa de \(\sin\).
Portanto \(f(x)=x\) e \(f'(x)=1\).
Resposta: \(1\).

Domínio restrito: \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).

23. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan^2(2x)] \).

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Defina \(g(x)=\tan(2x)\).
\((g^2)’=2g\cdot g’\) com \(g’=(\tan(2x))’=2\sec^2(2x)\).
Resultado: \(2\tan(2x)\cdot 2\sec^2(2x)=4\tan(2x)\sec^2(2x)\).
Resposta: \(4\tan(2x)\sec^2(2x)\).

Domínio: \(2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (pontos onde \(\tan\) é indefinida).

24. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{\sec^2 x}{1+\tan^2 x}\right] \).

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Identidade: \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) (quando definidas).
A expressão simplifica para \(1\). Derivada: \(0\).
Resposta: \(0\).

Domínio: \(\cos x\neq 0\) (para \(\tan\) e \(\sec\) definidas).

25. Prove que \( \dfrac{d}{dx}\,[\arctan(\tan x)]=1 \) para \(x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\).

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Nesse intervalo, \(\arctan\) é inversa de \(\tan\).
Logo \(\arctan(\tan x)=x\). Derivada: \(1\).
Resposta: \(1\).

Domínio principal: \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).

Todas as contas foram conferidas e as condições de domínio foram destacadas quando pertinentes.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.