Derivadas das Funções Trigonométricas
Este guia reúne as fórmulas essenciais e a intuição das derivadas trigonométricas, com exemplos e exercícios. Se você está começando, vale revisar a Definição de Derivada e as Regras de Derivação. Para composições com produtos/razões, consulte Derivadas do Produto e Quociente.
1) Fórmulas básicas (argumento simples)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cos x]=-\,\sin x\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cot x]=-\,\csc^2 x\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\,\tan x\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\csc x]=-\,\csc x\,\cot x\)
2) Argumento composto \(u(x)\) (regra da cadeia)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sin u]=(\cos u)\,u’\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cos u]=-(\sin u)\,u’\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\tan u]=\sec^2 u\;u’\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\cot u]=-\,\csc^2 u\;u’\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\sec u]=\sec u\,\tan u\;u’\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx}[\csc u]=-\,\csc u\,\cot u\;u’\)
Em problemas com produtos ou quocientes de funções trigonométricas (por exemplo \(\sin x\cdot \cos x\) ou \(\dfrac{\sin u}{\cos u}\)), use também as regras específicas apresentadas em Produto e Quociente.
Em cursos de Cálculo, é comum relacionar trigonometria às representações com exponenciais complexas. Por isso, estudar Derivada de Função Exponencial e Derivada de Funções Logarítmicas ajuda a consolidar conexões entre esses mundos.
3) Exemplos resolvidos
Exemplo A — Soma simples
Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\sin x+\cos x\).
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\((\cos x)’=-\sin x\).
\(f'(x)=\cos x-\sin x\).
Exemplo B — Função composta
Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\tan(3x)\).
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\((\tan u)’=\sec^2 u\cdot u’\Rightarrow f'(x)=\sec^2(3x)\cdot 3=3\sec^2(3x)\).
Exemplo C — Produto trigonométrico
Calcule \(f'(x)\) para \(f(x)=\sin x\cdot\cos x\).
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\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=u’v+uv’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x\).
(Também \(=\cos(2x)\) pela identidade trigonométrica.)
Exemplo D — Reta tangente
Encontre a reta tangente à \(g(x)=\cos x\) no ponto \(x=0\).
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\(g'(x)=-\sin x\Rightarrow g'(0)=0\).
Equação ponto–inclinação: \(y-1=0\cdot(x-0)\Rightarrow \boxed{y=1}\).
4) Exercícios propostos
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}\big[\sin x\cdot\cos x\big]\).
- Derive \(h(x)=\sec x+\tan x\).
- Calcule \(\dfrac{d}{dx}\big[\cot(5x)\big]\).
- Encontre a equação da reta tangente à \(p(x)=\cos x\) no ponto \(x=0\).
- Mostre que \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)=\sec^2 x\).
Se precisar relembrar conceitos, visite a Definição de Derivada e a coletânea de Regras de Derivação.
5) Gabarito
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1) \(\dfrac{d}{dx}[\sin x\cos x]=\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)\).
2) \(h'(x)=\sec x\tan x+\sec^2 x\).
3) \(\dfrac{d}{dx}[\cot(5x)]=-\,5\,\csc^2(5x)\).
4) \(p'(x)=-\sin x\Rightarrow p'(0)=0\). Tangente: \(\boxed{y=1}\).
5) \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\) pelo quociente: \(\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\sec^2x\).
6) Leitura complementar
Exercícios — Derivadas de Funções Trigonométricas
25 questões do básico ao avançado. Clique em Mostrar solução para ver o passo a passo. Para revisar teoria: Definição de Derivada, Regras de Derivação e Produto e Quociente.
Parte 1 — Funções trigonométricas simples
1. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin x] \).
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Resposta: \(\cos x\).
2. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\cos x] \).
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Resposta: \(-\sin x\).
3. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan x] \).
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Resposta: \(\sec^2 x\).
4. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\cot x] \).
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Resposta: \(-\csc^2 x\).
5. Derive \( f(x)=\sec x + \csc x \).
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\( (\csc x)’=-\csc x\cot x \).
\( f'(x)=\sec x\tan x – \csc x\cot x \).
Resposta: \(\sec x\tan x – \csc x\cot x\).
Parte 2 — Funções trigonométricas compostas
6. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin(3x)] \).
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\((\sin u)’=\cos u \cdot u’ \Rightarrow 3\cos(3x)\).
Resposta: \(3\cos(3x)\).
7. Derive \( f(x)=\cos(5x+1) \).
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\((\cos u)’=-\sin u \cdot u’=-5\sin(5x+1)\).
Resposta: \(-5\sin(5x+1)\).
8. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan(2x^2)] \).
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\((\tan u)’=\sec^2 u \cdot u’ \Rightarrow 4x\,\sec^2(2x^2)\).
Resposta: \(4x\,\sec^2(2x^2)\).
9. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\csc(4x)] \).
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\((\csc u)’=-\csc u\cot u \cdot u’ \Rightarrow -4\,\csc(4x)\cot(4x)\).
Resposta: \(-4\,\csc(4x)\cot(4x)\).
10. Derive \( f(x)=\sec(\sqrt{x}) \).
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\((\sec u)’=\sec u\tan u \cdot u’ \Rightarrow \dfrac{\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\).
Resposta: \( \dfrac{\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \).
Parte 3 — Produtos e quocientes
11. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\sin x \cdot \cos x] \).
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\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=u’v+uv’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\).
\(f’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)\).
Resposta: \(\cos^2 x-\sin^2 x\).
12. Determine \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan x \cdot \sec x] \).
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\(u’=\sec^2 x,\ v’=\sec x\tan x\).
\(f’=u’v+uv’=\sec^2 x\,\sec x + \tan x(\sec x\tan x)\).
\(f’=\sec^3 x + \sec x\,\tan^2 x\).
Resposta: \(\sec^3 x+\sec x\,\tan^2 x\).
13. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right) \).
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\(u’=\cos x,\ v’=-\sin x\).
\(f’=\dfrac{u’v-u v’}{v^2}=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}\).
\(f’=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\sec^2 x\).
Resposta: \(\sec^2 x\).
14. Derive \( f(x)=\dfrac{\tan(3x)}{\sec(3x)} \).
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Derive: \( (\sin(3x))’=3\cos(3x) \).
Resposta: \(3\cos(3x)\).
15. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}\right) \).
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Produto: \( (\sec x\,\csc x)’=(\sec x)’\csc x+\sec x(\csc x)’\).
\( (\sec x)’=\sec x\tan x \), \( (\csc x)’=-\csc x\cot x \).
\( f’=\sec x\csc x(\tan x-\cot x) \).
Resposta: \(\sec x\,\csc x\,(\tan x-\cot x)\).
Parte 4 — Aplicações
16. Encontre a reta tangente a \(f(x)=\sin x\) em \(x=\dfrac{\pi}{6}\).
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Inclinação: \(m=f'(x)=\cos x \Rightarrow m=\cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt3}{2}\).
Equação: \( y-\tfrac12=\tfrac{\sqrt3}{2}\Big(x-\tfrac{\pi}{6}\Big) \).
Resposta: \( y=\tfrac{\sqrt3}{2}\,x-\tfrac{\sqrt3\,\pi}{12}+\tfrac12 \).
17. Para \(g(x)=\cos x\), determine os pontos onde a tangente é horizontal.
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\(g'(x)=-\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\).
Pontos: \((k\pi,\cos(k\pi))=(k\pi,(-1)^k)\).
Resposta: \(x=k\pi\); pontos \((k\pi,(-1)^k)\).
18. Ache os pontos de inclinação máxima de \(f(x)=\sin(2x)\).
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Máxima inclinação quando \(|\cos(2x)|=1\) ⇒ \(\cos(2x)=\pm1\).
Por exemplo, \(\cos(2x)=1\Rightarrow x=\pi k\). Nessas abscissas, \(f'(x)=\pm 2\).
Pontos: \((\pi k,0)\) para o caso \(\cos(2x)=1\).
Resposta: inclinação máxima em \(x=\pi k\) (valor \(|f’|=2\)).
19. Uma onda \(h(t)=5\sin(2t)\). Encontre \(\dfrac{dh}{dt}\).
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Resposta: \(10\cos(2t)\).
20. Pêndulo: \(\theta(t)=\cos(3t)\). Calcule \(\dfrac{d\theta}{dt}\).
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Resposta: \(-3\sin(3t)\).
Parte 5 — Desafios avançados
21. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\ln(\tan x)] \) (onde \(\tan x>0\)).
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\(u’=\sec^2 x \Rightarrow f’=\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\,\csc x\).
Resposta: \(\dfrac{\sec^2 x}{\tan x}=\sec x\,\csc x\).
22. Derive \( f(x)=\arcsin(\sin x) \) para \( x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \).
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Portanto \(f(x)=x\) e \(f'(x)=1\).
Resposta: \(1\).
23. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\,[\tan^2(2x)] \).
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\((g^2)’=2g\cdot g’\) com \(g’=(\tan(2x))’=2\sec^2(2x)\).
Resultado: \(2\tan(2x)\cdot 2\sec^2(2x)=4\tan(2x)\sec^2(2x)\).
Resposta: \(4\tan(2x)\sec^2(2x)\).
24. Calcule \( \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{\sec^2 x}{1+\tan^2 x}\right] \).
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A expressão simplifica para \(1\). Derivada: \(0\).
Resposta: \(0\).
25. Prove que \( \dfrac{d}{dx}\,[\arctan(\tan x)]=1 \) para \(x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\).
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Logo \(\arctan(\tan x)=x\). Derivada: \(1\).
Resposta: \(1\).
