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Descontos: Desconto Simples e Composto, e Como Calcular o Valor Final Após Descontos

Os descontos são uma parte essencial das transações comerciais e financeiras, aplicados em compras à vista, promoções e até na quitação antecipada de dívidas. Existem dois principais tipos de descontos no universo financeiro: desconto simples e desconto composto. Cada um deles tem suas particularidades e cálculos próprios, o que afeta diretamente o valor final a ser pago após a aplicação do desconto. Neste artigo, abordaremos o conceito de desconto simples e composto, suas diferenças e como calcular o valor final após a aplicação de cada tipo de desconto.

1. O que é Desconto?

Antes de explorarmos os tipos de desconto, é importante entender o conceito básico. O desconto é a redução de um valor a ser pago ou recebido, geralmente aplicado sobre um valor nominal (valor original). Ele pode ser oferecido em diversas situações, como:

  • Compras à vista: Oferecido para incentivar o pagamento imediato.
  • Promoções e liquidações: Aplicado para atrair consumidores e escoar estoques.
  • Pagamento antecipado de dívidas: Concedido para quem paga antes do prazo acordado.

Agora, vejamos como funcionam os dois principais tipos de desconto.

2. Desconto Simples

O desconto simples é aquele em que a redução é calculada diretamente sobre o valor nominal (valor original) de forma linear, sem a aplicação de juros ou outros cálculos complexos. Em outras palavras, o desconto simples é proporcional ao valor inicial e ao tempo de antecipação do pagamento, caso seja utilizado em contextos de quitação antecipada de dívidas.

Existem duas formas principais de calcular o desconto simples:

Desconto Simples Comercial

a) Desconto Comercial ou por Fora (Desconto Simples Comercial)

Nesse tipo de desconto, o valor a ser pago é reduzido diretamente pelo valor do desconto, que é calculado sobre o valor nominal. A fórmula para o desconto simples comercial é:

\( D_c = N \times i \times t \)

Onde:

  • Dc é o valor do desconto,
  • N é o valor nominal (valor original),
  • i é a taxa de desconto (em forma decimal),
  • t é o tempo (em anos, meses ou dias, dependendo da unidade da taxa).

O valor a ser pago (valor final) é:

\( P = N – D_c \)

Exemplo de Desconto Simples Comercial

Exemplo de Desconto Simples Comercial

Imagine que um cliente precisa pagar uma dívida de R$ 10.000,00, com uma taxa de desconto (juros simples) de 2% ao mês, e ele decide quitar o valor 3 meses antes do vencimento.

  1. N = R$ 10.000,00,
  2. i = 2% = 0,02,
  3. t = 3 meses.

Aplicando a fórmula:

\( D_c = 10.000 \times 0,02 \times 3 \)
\( D_c = 600 \)

O valor do desconto é de R$ 600,00. Portanto, o valor final a ser pago será:

\( P = 10.000 – 600 = R\$ \, 9.400,00 \)

O cliente pagará R$ 9.400,00 após o desconto.

Desconto Simples Comercial — Exercícios

Exercício 1 — Cálculo do valor a pagar

Um título de valor nominal \(N = \text{R\$ }5.000,00\) é antecipado com taxa de desconto simples comercial \(i=3\%\) ao mês, por \(t=2\) meses. Qual é o valor a ser pago \(P\)?

  • A) R$ 4.400,00
  • B) R$ 4.600,00
  • C) R$ 4.700,00
  • D) R$ 4.850,00
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Desconto comercial: \(\;D_c = N\cdot i \cdot t\).

\(D_c = 5.000 \times 0{,}03 \times 2 = 300\)

Valor a pagar: \(\;P = N – D_c\).

\(P = 5.000 – 300 = \text{R\$ }4.700{,}00\)

Alternativa correta: C.

Exercício 2 — Desconto e valor líquido

Um cliente antecipa um título de \(N=\text{R\$ }12.000{,}00\) com taxa mensal de \(i=1{,}5\%\) por \(t=4\) meses. Qual é o valor líquido \(P\) recebido?

  • A) R$ 11.280,00
  • B) R$ 11.400,00
  • C) R$ 11.520,00
  • D) R$ 12.720,00
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Desconto:

\(D_c = 12.000 \times 0{,}015 \times 4 = 12.000 \times 0{,}06 = 720\)

Valor líquido:

\(P = 12.000 – 720 = \text{R\$ }11.280{,}00\)

Alternativa correta: A.

Exercício 3 — Determinando o valor nominal

Após um desconto simples comercial de \(i=2\%\) ao mês por \(t=2\) meses, o valor pago foi \(P=\text{R\$ }9.160{,}00\). Qual era o valor nominal \(N\) do título?

  • A) R$ 9.400,00
  • B) R$ 9.541,67
  • C) R$ 9.600,00
  • D) R$ 9.540,00
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Como \(P = N – D_c\) e \(D_c = N\cdot i \cdot t\), então: \(\;P = N(1 – i t)\Rightarrow N = \dfrac{P}{1-i t}\).

\(N = \dfrac{9.160}{1-0{,}02\cdot 2} = \dfrac{9.160}{0{,}96} \approx \text{R\$ }9.541{,}67\)

Alternativa correta: B.

Desconto Simples Racional

b) Desconto Racional ou por Dentro (Desconto Simples Racional)

No desconto racional, o valor do desconto é calculado sobre o valor presente ou valor atual, em vez de ser calculado sobre o valor nominal. A fórmula para o desconto racional é:

\( D_r = \dfrac{N \times i \times t}{1 + i \times t} \)

O valor presente ou valor final a ser pago é:

\( P = \dfrac{N}{1 + i \times t} \)

Exemplo de Desconto Simples Racional:

Usando os mesmos valores do exemplo anterior (\(N = \text{R\$ }10.000,00\), \(i = 2\%\) ao mês e \(t = 3\) meses), vamos calcular o valor do desconto racional.

Aplicando a fórmula:

\( P = \dfrac{10.000}{1 + 0,02 \times 3} \)

\( P = \dfrac{10.000}{1 + 0,06} \)

\( P = \dfrac{10.000}{1,06} \)

\( P \approx 9.433,96 \)

O valor a ser pago após o desconto será aproximadamente R$ 9.433,96.

O desconto será:

\( D_r = 10.000 – 9.433,96 = \text{R\$ }566,04 \)

Exercícios — Desconto Simples Racional

Exercício 1 — Valor Presente

Um título de valor nominal \(N = \text{R\$ }8.000,00\) será antecipado com uma taxa de desconto racional simples de \(i = 3\%\) ao mês por \(t = 5\) meses. Qual será o valor presente \(P\)?

  • A) R$ 7.000,00
  • B) R$ 7.500,00
  • C) R$ 7.600,00
  • D) R$ 7.700,00
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Fórmula do valor presente:

\(P = \dfrac{N}{1 + i \cdot t}\)

Substituindo os valores:

\(P = \dfrac{8.000}{1 + 0,03 \cdot 5} = \dfrac{8.000}{1 + 0,15} = \dfrac{8.000}{1,15} \approx \text{R\$ }6.956,52\)

Alternativa correta: A.

Exercício 2 — Valor do Desconto

Um título de \(N = \text{R\$ }12.000,00\) será antecipado com taxa de desconto racional de \(i = 2,5\%\) ao mês por \(t = 6\) meses. Qual será o valor do desconto \(D_r\)?

  • A) R$ 1.200,00
  • B) R$ 1.500,00
  • C) R$ 1.750,00
  • D) R$ 1.800,00
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Primeiro, calculamos o valor presente:

\(P = \dfrac{12.000}{1 + 0,025 \cdot 6} = \dfrac{12.000}{1 + 0,15} = \dfrac{12.000}{1,15} \approx \text{R\$ }10.434,78\)

Agora, o valor do desconto:

\(D_r = N – P = 12.000 – 10.434,78 \approx \text{R\$ }1.565,22\)

Alternativa correta: C.

Exercício 3 — Determinando o Valor Nominal

Um cliente antecipa um pagamento e recebe \(P = \text{R\$ }9.200,00\) por um título com taxa de desconto racional simples \(i = 2\%\) ao mês durante \(t = 4\) meses. Qual era o valor nominal \(N\) do título?

  • A) R$ 9.800,00
  • B) R$ 9.984,00
  • C) R$ 10.000,00
  • D) R$ 10.200,00
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Reorganizando a fórmula do valor presente:

\(P = \dfrac{N}{1 + i \cdot t} \;\Rightarrow\; N = P \cdot (1 + i \cdot t)\)

Substituindo os valores:

\(N = 9.200 \cdot (1 + 0,02 \cdot 4) = 9.200 \cdot (1 + 0,08) = 9.200 \cdot 1,08 = \text{R\$ }9.936,00\)

Alternativa correta: B.

Desconto Composto

3. Desconto Composto

O desconto composto é aplicado quando o cálculo considera uma taxa de juros compostos. Nesse caso, o valor é descontado ao longo do tempo com capitalização, sendo comum em contratos de médio e longo prazo e em operações financeiras mais complexas.

A fórmula do desconto composto comercial é:

\( D_c = N \times \left[\,1 – (1+i)^{-t}\,\right] \)

Onde:

  • Dc é o valor do desconto composto,
  • N é o valor nominal,
  • i é a taxa de desconto (por período, em decimal),
  • t é o tempo (em períodos, como meses ou anos).

O valor a ser pago (valor presente) será:

\( P = N \times (1+i)^{-t} \)

Exemplo de Desconto Composto

Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 com uma taxa de desconto de 2% ao mês e decide quitar essa dívida 3 meses antes do vencimento.

  1. N = R$ 10.000,00
  2. i = 2\% = 0,02
  3. t = 3 meses

Aplicando a fórmula do valor presente:

\( P = 10.000 \times (1 + 0,02)^{-3} \)

\( P = 10.000 \times (1,02)^{-3} \)

\( P = 10.000 \times 0,94232 \)

\( P \approx \text{R\$ }9.423,20 \)

O valor a ser pago após o desconto composto será de aproximadamente R$ 9.423,20.

O valor do desconto composto será:

\( D_c = 10.000 – 9.423,20 = \text{R\$ }576,80 \)

Quer revisar os conceitos de aumento, desconto, juros simples e compostos? Leia o guia completo de Matemática Financeira

Exercícios — Desconto Composto

Exercício 1 — Valor Presente

Um título de valor nominal \(N = \text{R\$ }5.000,00\) será antecipado com taxa de desconto composto \(i = 3\%\) ao mês durante \(t = 4\) meses. Qual será o valor presente \(P\)?

  • A) R$ 4.450,00
  • B) R$ 4.450,86
  • C) R$ 4.600,00
  • D) R$ 4.800,00
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Aplicamos a fórmula do valor presente:

\(P = N \cdot (1 + i)^{-t}\)

Substituindo os valores:

\(P = 5.000 \cdot (1 + 0,03)^{-4} = 5.000 \cdot (1,03)^{-4}\)
\(P = 5.000 \cdot \dfrac{1}{1,03^4} \approx 5.000 \cdot 0,89017 \approx \text{R\$ }4.450,86\)

Alternativa correta: B.

Exercício 2 — Valor do Desconto Composto

Um cliente quita uma dívida de \(N = \text{R\$ }12.000,00\) com taxa de desconto composto \(i = 2,5\%\) ao mês por \(t = 6\) meses. Qual é o valor do desconto \(D_c\)?

  • A) R$ 1.800,00
  • B) R$ 1.850,00
  • C) R$ 1.867,20
  • D) R$ 2.000,00
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Primeiro calculamos o valor presente:

\(P = 12.000 \cdot (1 + 0,025)^{-6} = 12.000 \cdot (1,025)^{-6}\)
\(P = 12.000 \cdot \dfrac{1}{1,025^6} \approx 12.000 \cdot 0,8444 \approx \text{R\$ }10.132,80\)

Agora, o desconto composto:

\(D_c = N – P = 12.000 – 10.132,80 = \text{R\$ }1.867,20\)

Alternativa correta: C.

Exercício 3 — Determinando o Valor Nominal

Um título teve valor presente de \(P = \text{R\$ }9.500,00\) ao ser antecipado com taxa de desconto composto \(i = 2\%\) ao mês por \(t = 5\) meses. Qual era o valor nominal \(N\)?

  • A) R$ 10.000,00
  • B) R$ 10.200,00
  • C) R$ 10.500,00
  • D) R$ 10.800,00
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Usamos a fórmula:

\(P = N \cdot (1 + i)^{-t} \;\Rightarrow\; N = P \cdot (1 + i)^t\)

Substituindo os valores:

\(N = 9.500 \cdot (1 + 0,02)^5 = 9.500 \cdot (1,02)^5\)
\(N = 9.500 \cdot 1,10408 \approx \text{R\$ }10.488,76 \approx \text{R\$ }10.500,00\)

Alternativa correta: C.

4. Diferenças entre Desconto Simples e Desconto Composto

A principal diferença entre o desconto simples e o desconto composto é a forma como o desconto é calculado. No desconto simples, o desconto é linear e não considera a capitalização dos juros, enquanto no desconto composto, o desconto é calculado de maneira exponencial, levando em consideração o tempo e a taxa de juros composta.

  • Desconto Simples: Mais utilizado em operações de curto prazo e cálculos mais simples.
  • Desconto Composto: Mais utilizado em operações de médio e longo prazo, em que o efeito dos juros compostos é significativo.

5. Conclusão

O entendimento dos diferentes tipos de descontos na matemática, sejam eles simples ou compostos, é crucial para realizar transações financeiras de forma mais eficiente e estratégica. Saber calcular o valor final a ser pago após a aplicação de descontos permite ao consumidor ou investidor tomar decisões informadas, seja ao quitar uma dívida, negociar contratos ou avaliar uma promoção.

O desconto simples é mais comum em transações rotineiras e de curto prazo, enquanto o desconto composto é aplicado em situações que envolvem períodos mais longos e cálculos mais complexos. De qualquer forma, a compreensão desses conceitos pode ajudar a economizar dinheiro e a otimizar o planejamento financeiro.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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