Distribuição Binomial — Probabilidade em Tentativas Repetidas

Distribuição Binomial — Fórmula, Interpretação e Exercícios Resolvidos

A Distribuição Binomial é utilizada quando realizamos um número fixo de tentativas, cada uma com apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

Esse conteúdo é muito cobrado no ENEM e em concursos, especialmente em problemas envolvendo moedas, dados, testes e experimentos repetidos.

Fórmula da Distribuição Binomial

\[ P(X = p) = \binom{n}{p} \cdot [P(A)]^p \cdot [P(\bar{A})]^{n-p} \]

Significado de cada termo

n → número total de tentativas;
p → número de vezes que o evento ocorre (sucessos);
P(A) → probabilidade de sucesso;
P(Ā) → probabilidade de fracasso;
\(\binom{n}{p}\) → número de combinações: \[ \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \]

Quando usar a Distribuição Binomial?

Número fixo de tentativas;
Apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso);
As tentativas são independentes;
A probabilidade permanece constante.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 2 caras?

n = 3
p = 2
P(A) = 1/2
P(Ā) = 1/2

\[ P(X=2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1 \] \[ P(X=2) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Resposta: \( \frac{3}{8} \).

Exemplo 2: Um dado é lançado 4 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 1 vez o número 6?

n = 4
p = 1
P(A) = 1/6
P(Ā) = 5/6

\[ P(X=1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Uma moeda é lançada 5 vezes. Calcule a probabilidade de sair exatamente 3 caras.

Ver solução

\[ P(X=3) = \binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ P(X=3) = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{16} \]

Exercício 2

Um teste tem probabilidade de acerto igual a 0,7. Em 4 tentativas, qual a probabilidade de acertar exatamente 2?

Ver solução

\[ P(X=2) = \binom{4}{2}(0{,}7)^2(0{,}3)^2 \]

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.