A distribuição binomial é utilizada para modelar situações com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. As questões a seguir ilustram aplicações reais dessa distribuição, com resolução passo a passo.

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1. Num determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas?

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a) \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0{,}1)^3 \cdot (0{,}9)^2 = 10 \cdot 0{,}001 \cdot 0{,}81 = 0{,}0081 \] b) \[ P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) \approx 0{,}0729 + 0{,}0081 + 0{,}00045 + 0{,}00001 = 0{,}08146 \] c) \[ P(\text{alguma defeituosa}) = 1 – P(0) = 1 – (0{,}9)^5 = 0{,}40951 \] \[ \text{Multa esperada} = 1000 \cdot 0{,}40951 \cdot 10 = R\$ 4095{,}10 \]

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2. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98. a) Qual é a probabilidade de que um pacote não seja indenizado? b) Se o produtor vender 1.000 pacotes, em quantos pacotes se espera indenizar? c) Qual o lucro líquido esperado por pacote (prejuízo: R$1,20; lucro: R$2,50)? d) Calcule a média, a variância e o desvio padrão do número de sementes germinadas.

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a) \[ P(X \geq 19) = P(19) + P(20) \approx 0{,}2725 + 0{,}6676 = 0{,}9401 \] b) \[ P(\text{indenizado}) = 1 – 0{,}9401 = 0{,}0599 \\ 1000 \cdot 0{,}0599 = 59{,}9 \text{ pacotes} \] c) \[ \text{Lucro líquido} = 0{,}9401 \cdot 2{,}50 – 0{,}0599 \cdot 1{,}20 = R\$ 2{,}278 \] d) \[ \mu = 20 \cdot 0{,}98 = 19{,}6 \\ \sigma^2 = 20 \cdot 0{,}98 \cdot 0{,}02 = 0{,}392 \\ \sigma = \sqrt{0{,}392} \approx 0{,}626 \]

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3. A probabilidade de um gado sofrer reação a um soro é 0,001. Entre 2000 animais: a) Qual a probabilidade de exatamente 3 terem reação? b) Qual a probabilidade de mais de 2 terem reação?

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a) \[ P(X = 3) = \binom{2000}{3} \cdot (0{,}001)^3 \cdot (0{,}999)^{1997} \approx 0{,}1805 \] b) \[ P(X \geq 3) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) \approx 1 – 0{,}6767 = 0{,}3233 \]

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4. De um lote de 30 placas (com 3 defeituosas), sorteiam-se 5. Se uma ou mais forem defeituosas, o lote será inspecionado totalmente. Qual a probabilidade disso acontecer?

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Distribuição Hipergeométrica: \[ P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – \frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} \approx 1 – 0{,}5905 = 0{,}4095 \]

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5. Uma doença pode ser curada com 75% de sucesso. Quatro bovinos serão operados. b) Qual a probabilidade de todos serem curados? c) Qual a probabilidade de pelo menos dois não serem curados? d) Qual o valor esperado de curados e o desvio padrão? e) Se em 8 cirurgias apenas 2 são curados, o que pode ser concluído?

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b) \[ P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}75^4 = 1 \cdot 0{,}3164 = 0{,}3164 \] c) \[ P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0{,}0039 + 0{,}0469 + 0{,}2109 = 0{,}2617 \] d) \[ \mu = 4 \cdot 0{,}75 = 3 \quad \sigma^2 = 4 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 0{,}75 \\ \sigma = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866 \] e) \[ P(Y = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}75^2 \cdot 0{,}25^6 \approx 0{,}0038 \] Como a probabilidade é muito baixa, o sucesso real pode não ser 75%.

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6. Uma olaria recebe três propostas para a compra da sua produção de tijolos: – A: Examina 15 tijolos. Se houver no máximo 1 de baixa qualidade, paga-se R$0,50 por unidade; senão, R$0,27. – B: Examina 20 tijolos. Se houver no máximo 3 de baixa qualidade, paga-se R$0,40; senão, R$0,20. – C: Examina 18 tijolos. Se nenhum for de baixa qualidade, paga-se R$0,67; senão, R$0,30. Sabendo que a taxa de baixa qualidade é de 5%, qual proposta é a melhor? [toggle title=’Ver Solução’ title_font_size=’20px’]

Assumindo \( p = 0{,}05 \): A: \[ P(X \leq 1) = \text{Probabilidade de até 1 defeituoso em 15} \approx 0{,}829 \\ \text{Preço Médio A} = 0{,}829 \cdot 0{,}50 + (1 – 0{,}829) \cdot 0{,}27 = 0{,}46 \] B: \[ P(X \leq 3) \approx 0{,}9841 \\ \text{Preço Médio B} = 0{,}9841 \cdot 0{,}40 + (1 – 0{,}9841) \cdot 0{,}20 = 0{,}397 \] C: \[ P(X = 0) = (1 – 0{,}05)^{18} \approx 0{,}397 \\ \text{Preço Médio C} = 0{,}397 \cdot 0{,}67 + (1 – 0{,}397) \cdot 0{,}30 = 0{,}447 \] A melhor proposta para o produtor é a **Proposta A** (maior valor médio).

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7. Um produto pode ser vendido de duas formas: a) Por R$1,00 sem inspeção. b) Inspecionando 5 peças do lote. Se houver no máximo 1 defeituosa, o lote é de 1ª (R$1,20/unidade); senão, 2ª (R$0,80/unidade). Qual a melhor opção dependendo do valor de \( p \) (defeituosas)?

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Se \( X \sim B(5, p) \), o preço médio depende de \( P(X \leq 1) \): | \( p \) | \( P(X \leq 1) \) | Preço Médio | |——–|——————|————-| | 0,01 | 0,999 | R$1,199 | | 0,05 | 0,977 | R$1,19 | | 0,10 | 0,918 | R$1,167 | | 0,20 | 0,737 | R$1,09 | | 0,30 | 0,528 | R$1,01 | | 0,35 | 0,428 | R$0,971 | Comparando com R$1,00 (sem inspeção), para \( p < 0{,}30 \), a inspeção é vantajosa. **Valor de corte:** onde \( P(X \leq 1) = 0{,}5 \), o preço médio será R$1,00.

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8. Um aluno vai resolver uma prova com 10 questões de V ou F, chutando todas as respostas. a) Qual a probabilidade de acertar pelo menos 6? b) Qual a média e o desvio padrão de acertos? c) Se a prova tivesse 50 questões e para passar fosse necessário acertar 60%, quantos dos 4000 candidatos passariam chutando? d) Se um aluno acertou 38 questões, ele chutou?

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a) \[ P(X \geq 6) = 1 – [P(0) + \ldots + P(5)] \approx 0{,}377 \] b) \[ \mu = 10 \cdot 0{,}5 = 5 \\ \sigma = \sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}581 \] c) \[ \text{Para passar: } 0{,}6 \cdot 50 = 30 \text{ questões} \\ P(Y \geq 30) \approx 0{,}1013 \Rightarrow 4000 \cdot 0{,}1013 = 405 \text{ candidatos} \] d) \[ P(Y = 38) \approx 0{,}00011 \Rightarrow \text{Muito improvável. Não foi “só chute”.} \]

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9. Controle de qualidade: de cada lote de 80 peças (4 defeituosas), sorteiam-se 6. Aceita-se o lote se houver no máximo 1 defeituosa. a) Qual a probabilidade de aceitação de um lote? b) Qual a probabilidade de 3 em 5 lotes serem aceitos? c) Qual o custo de inspeção total para 20 lotes, se cada um custa R$200?

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a) Aproximação hipergeométrica: \[ P(X \leq 1) \approx 0{,}2321 \] b) \[ P(Y = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}2321^3 \cdot (1 – 0{,}2321)^2 \approx 0{,}0097 \] c) \[ \text{Esperança de inspeções} = 20 \cdot (1 – 0{,}2321) = 15{,}358 \\ \text{Custo} = 15{,}358 \cdot 200 = R\$ 3071,60 \]

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10. Compare a chance de passar em uma prova chutando com diferentes alternativas: – Verdadeiro ou falso (p = 0,5) – 3 alternativas (p = 1/3) – 5 alternativas (p = 1/5)

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Se mantivermos 50 questões e o critério de aprovação for 60%: – Para \( p = 0{,}5 \): já calculado → 405 candidatos passam em 4000. – Para \( p = \frac{1}{3} \): menor chance → \( \mu = 16{,}7 \), \( \sigma \approx 3{,}3 \), \( P(X \geq 30) \approx 0{,}011 \Rightarrow 44 \) candidatos. – Para \( p = \frac{1}{5} \): \( \mu = 10 \), \( \sigma \approx 2{,}83 \), \( P(X \geq 30) \approx 0{,}00003 \Rightarrow \text{Praticamente ninguém passa.} \) Conclusão: quanto menor o número de alternativas, maior a chance de “passar chutando”.

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