ENEM 2025: Questão de Geometria Analítica resolvida com NÚMEROS COMPLEXOS 😱

1️⃣ Representando os pontos como números complexos

Cada ponto \((x,y)\) do plano cartesiano é associado a um número complexo:

\(z = x + yi.\)

Da figura, temos:

• Herói \(S(6,2) \Rightarrow z_S = 6 + 2i\)
• Vilão \(V(8,6) \Rightarrow z_V = 8 + 6i\)

2️⃣ Deslocamento de \(S\) até \(V\): \(z_{SV}\)

O “vetor” \(\overrightarrow{SV}\) vira a diferença de complexos:

\(z_{SV} = z_V – z_S = (8+6i) – (6+2i) = 2 + 4i.\)

Esse \(2 + 4i\) é exatamente o deslocamento de \(S\) até \(V\) no plano complexo.

3️⃣ Rotação de 90° multiplicando por \(i\)

Em um quadrado, os lados consecutivos são perpendiculares. Rotacionar um vetor em \(90^\circ\) no sentido anti-horário no plano complexo equivale a multiplicar por \(i\):

\(z_{\text{rot}} = i \cdot z.\)

Aplicando isso ao vetor \(z_{SV} = 2+4i\):

\(i(2+4i) = 2i + 4i^2 = 2i – 4 = -4 + 2i.\)

Esse novo vetor \(-4 + 2i\) tem a direção do lado do quadrado que vai de \(V\) até \(U\). Assim, podemos usar:

\(z_{VU} = -4 + 2i.\)

4️⃣ Encontrando o ponto \(U\)

Para achar a posição de \(U\), somamos o deslocamento \(z_{VU}\) à posição de \(V\):

\(z_U = z_V + z_{VU} = (8 + 6i) + (-4 + 2i).\)

\(z_U = (8-4) + (6+2)i = 4 + 8i.\)

Logo, as coordenadas de \(U\) são:

\(U(4,8).\)

5️⃣ Equação da reta \(SU\)

A trajetória do herói será a reta que passa pelos pontos \(S\) e \(U\).

Pontos:

• \(S(6,2)\)
• \(U(4,8)\)

5.1 Coeficiente angular

O coeficiente angular \(m\) da reta que passa por \(S\) e \(U\) é:

\(m = \dfrac{y_S – y_U}{x_S – x_U} = \dfrac{2 – 8}{6 – 4} = \dfrac{-6}{2} = -3.\)

5.2 Equação da reta usando o ponto \(S(6,2)\)

Usamos a forma ponto–inclinação: \(y – y_0 = m(x – x_0)\), com o ponto \(S(6,2)\):

\(y – 2 = -3(x – 6)\)

\(y – 2 = -3x + 18\)

\(y = -3x + 20.\)

✅ Resposta final

A equação da trajetória em que o herói pode se movimentar sem ser atacado é:

\(y = -3x + 20\)