📐 Solução passo a passo

As tortas têm formato de cilindro circular reto com:

• raio variando entre 12 cm e 16 cm;
• altura 6 cm.

As caixas são prismas retos de base quadrada, e deve sobrar, no mínimo, 1 cm entre a torta e as superfícies:

• laterais;
• superior (tampa).

1️⃣ Altura da caixa

Altura da torta: 6 cm.

É exigida folga de 1 cm na parte superior.

\[ h_{\text{caixa}} \ge 6 + 1 = 7 \text{ cm} \]

As caixas originais têm 7 cm de altura, então a altura já atende. O problema está apenas na base.

2️⃣ Base quadrada da caixa

Se a aresta da base da nova caixa for \(L\), então a distância do centro da torta até cada lado da base é \(L/2\).

Para acomodar a torta de maior raio, isto é, \(r = 16 \text{ cm}\), com folga de 1 cm até a lateral, precisamos:

\[ \frac{L}{2} – r \ge 1 \]

Substituindo \(r = 16\):

\[ \frac{L}{2} – 16 \ge 1 \]

\[ \frac{L}{2} \ge 17 \]

\[ L \ge 34 \text{ cm} \]

Ou seja, a base interna da nova caixa precisa ter, no mínimo, 34 cm de lado.

3️⃣ Aumento em relação à caixa original

A aresta da base das caixas originais é de 14 cm.

Aumento mínimo necessário:

\[ \Delta = 34 – 14 = 20 \text{ cm} \]