Equações Lineares Equivalentes

Equações Lineares Equivalentes: Definição, Exemplos e Exercícios

Equações Lineares Equivalentes

Neste guia você vai entender, de forma objetiva, quando duas equações lineares (ou dois sistemas lineares) são equivalentes, isto é, quando descrevem o mesmo conjunto de soluções. O tema aparece com frequência no ENEM e em vestibulares. Para bases teóricas, veja também: Equação linear e Equação linear homogênea.

Definição: Duas equações lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto de soluções. Em particular, \(ax_1+\cdots+ a_nx_n=b\) e \(\lambda a_1x_1+\cdots+\lambda a_nx_n=\lambda b\) são equivalentes para todo \(\lambda\neq0\) (multiplicação dos dois lados por constante não nula). Em 2D, isso significa que as equações representam a mesma reta; em 3D, o mesmo plano.

Transformações que preservam equivalência (sistemas): (i) trocar a ordem das equações; (ii) multiplicar uma equação por \(\lambda\neq0\); (iii) somar a uma equação um múltiplo de outra. Essas são as operações elementares usadas na resolução de sistemas.

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Exemplos passo a passo

Exemplo 1 — Multiplicar por constante não nula

Considere \(4x+y-2z=-7\). Multiplicando ambos os lados por \(-2\) obtemos \(-8x-2y+4z=14\). Como \(-2\neq0\), as duas equações são equivalentes (têm o mesmo conjunto de soluções). Por exemplo, \(x=0,y=0,z=\tfrac{7}{2}\) satisfaz ambas.

Exemplo 2 — Reta no plano: mesma inclinação e mesmo intercepto

\(3x+2y=12 \Rightarrow y=-\tfrac{3}{2}x+6\). \(-6x-4y=-24 \Rightarrow y=-\tfrac{3}{2}x+6\). Conclusão: representam a mesma reta, logo são equivalentes.

Exemplo 3 — Sistema equivalente (operação de linha)

Sistema inicial: \(\begin{cases}x+y=3\\2x+3y=8\end{cases}\). Aplique \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\): nova 2ª equação: \(y=2\). Sistema equivalente: \(\begin{cases}x+y=3\\y=2\end{cases}\), cuja solução é \(x=1,\,y=2\).

Exercícios resolvidos

Exercício 1: Qual das opções é equivalente a \(5x-3y=12\)?

a) \(10x-6y=24\)
b) \(5x-3y=10\)
c) \(-15x+9y=-30\)
d) \(15x-9y=36\)

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Multiplicando a equação original por \(2\) obtemos \(10x-6y=24\) (equivalente). As demais não são múltiplos não nulos exatos do lado esquerdo e do direito simultaneamente. Resposta: a)

Exercício 2: Diga se \(2x+4y=8\) e \(x+2y=4\) são equivalentes.

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Dividindo a primeira por \(2\) (constante não nula) obtemos \(x+2y=4\). Logo, são equivalentes.

Exercício 3: A partir do sistema \(\begin{cases}x+2y=7\\3x+5y=16\end{cases}\), aplique a operação \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\) e escreva um sistema equivalente.

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Nova 2ª equação: \((3x+5y)-3(x+2y)=3x+5y-3x-6y=-y\). No termo independente: \(16-3\cdot7=16-21=-5\). Assim, \( -y=-5 \Rightarrow y=5\). Sistema equivalente: \(\begin{cases}x+2y=7\\y=5\end{cases}\) \(\Rightarrow x=-3\).

Exercício 4: Verifique se \(3x-y=6\) e \(9x-3y=15\) são equivalentes.

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Se multiplicarmos \(3x-y=6\) por \(3\), obtemos \(9x-3y=18\), que não coincide com \(9x-3y=15\). Portanto, as equações não são equivalentes (conjuntos de soluções diferentes).

Exercício 5: Mostre que \(-8x-2y+4z=14\) é equivalente a \(4x+y-2z=-7\).

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Multiplicando \(4x+y-2z=-7\) por \(-2\) (constante não nula), obtemos \(-8x-2y+4z=14\). Logo, as equações são equivalentes.

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Conclusão

Equações (ou sistemas) lineares equivalentes descrevem exatamente o mesmo conjunto de soluções. Para reconhecê-las, verifique se uma pode ser obtida da outra por multiplicação por constante não nula (equações) ou por operações elementares de linha (sistemas). Dominar esse critério simplifica a resolução de problemas e a checagem de resultados em provas como o ENEM.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.