Escalas, Mapas e Plantas
O que é escala?
Em mapas, plantas e maquetes, a escala é a razão entre uma medida no desenho e a medida real correspondente. Na forma numérica, \[ \text{Escala} = \frac{\text{medida no desenho}}{\text{medida real}}. \] Ex.: a escala \(1:50\,000\) (lê-se “um para cinquenta mil”) significa que \(1\ \text{cm}\) no mapa representa \(50\,000\ \text{cm}\) na realidade (ou seja, \(500\ \text{m}\)).
Dica: para evitar erros, trabalhe sempre com mesmas unidades antes de aplicar a escala.
Tipos de escala
- Numérica: \(1:n\) (ex.: \(1:100\), \(1:50\,000\)).
- Gráfica: barra graduada que indica distâncias reais.
- Verbal: “1 cm no mapa representa 2 km na realidade”.
Redução × Ampliação
- Redução: \(1:n\) com \(n>1\) (mapas geográficos).
- Ampliação: \(n:1\) (plantas de circuitos, anatomia etc.).
- Plantas arquitetônicas costumam usar \(1:50\), \(1:75\), \(1:100\), \(1:200\).
Como calcular distâncias (real ↔ desenho)
Se a escala é \(1:n\), então:
- Real a partir do desenho: \( \text{real} = \text{desenho} \times n \).
- Desenho a partir do real: \( \text{desenho} = \dfrac{\text{real}}{n} \).
Converta tudo para a mesma unidade (cm↔m↔km) antes de aplicar as fórmulas.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Distância real em mapa rodoviário
Enunciado: Num mapa na escala \(1:250\,000\), a distância entre duas cidades mede \(3{,}4\ \text{cm}\). Qual é a distância real, em km?
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- Escala \(1:250\,000\) → \(1\ \text{cm}\) no mapa = \(250\,000\ \text{cm}\) reais.
- Real \(=\) \(3{,}4\times 250\,000 = 850\,000\ \text{cm}\).
- Converta: \(850\,000\ \text{cm} = 8{,}5\ \text{km}\).
Resposta: 8,5 km.
Exemplo 2 — Comprimento no desenho (planta 1:100)
Enunciado: Em uma planta na escala \(1:100\), a parede mede \(4{,}5\ \text{m}\) na realidade. Quanto deve medir na planta (em cm)?
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- Converta o real para cm: \(4{,}5\ \text{m} = 450\ \text{cm}\).
- No desenho: \( \text{desenho} = \dfrac{450}{100} = 4{,}5\ \text{cm}\).
Resposta: 4,5 cm.
Exemplo 3 — Trocando escala mantendo o mesmo desenho
Enunciado: Um mapa está em \(1:200\,000\) e mostra 6 cm entre dois pontos. Para reimprimir em \(1:500\,000\), qual será a nova medida no desenho?
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- Distância real: \(6\times 200\,000 = 1\,200\,000\ \text{cm}\).
- Nova medida: \( \dfrac{1\,200\,000}{500\,000} = 2{,}4\ \text{cm}\).
Resposta: 2,4 cm (o mapa ficou mais “reduzido”).
Exemplo 4 — Escala verbal → numérica
Enunciado: “1 cm representa 3 km”. Escreva como escala numérica e encontre a distância real correspondente a 7,2 cm no mapa.
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- Converta: \(3\ \text{km} = 300\,000\ \text{cm}\).
- Escala: \(1:300\,000\).
- Real para \(7{,}2\ \text{cm}\): \(7{,}2\times 300\,000=2\,160\,000\ \text{cm}=21{,}6\ \text{km}\).
Resposta: 1:300.000 e 21,6 km.
Exemplo 5 — Escala gráfica (leitura)
Enunciado: Uma barra de escala indica que 2 cm correspondem a 1 km. Se a régua mede 5,5 cm entre pontos, qual a distância real?
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- Proporção: \(2\ \text{cm} \leftrightarrow 1\ \text{km}\).
- Regra de três: \(5{,}5\ \text{cm} \leftrightarrow \dfrac{5{,}5}{2}\ \text{km} = 2{,}75\ \text{km}\).
Resposta: 2,75 km.
Conversões rápidas
| Escala | Interpretação | Equivalência |
|---|---|---|
| 1 : 50 | 1 cm no desenho | 50 cm reais = 0,5 m |
| 1 : 100 | 1 cm no desenho | 100 cm reais = 1 m |
| 1 : 1.000 | 1 cm no desenho | 10 m reais |
| 1 : 50.000 | 1 cm no mapa | 500 m reais |
| 1 : 300.000 | 1 cm no mapa | 3 km reais |
Para km → cm: multiplique por \(100\,000\). Para m → cm: multiplique por \(100\).
Exercícios propostos
Clique para abrir a solução após cada enunciado.
Exercício 1
Enunciado: Em escala \(1:75\,000\), a distância entre dois pontos é \(4\ \text{cm}\). Calcule a distância real em km.
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- Real \(=4\times 75\,000=300\,000\ \text{cm}=3\ \text{km}\).
Resposta: 3 km.
Exercício 2
Enunciado: Uma avenida mede 1,2 km. Em uma planta \(1:2\,000\), qual deve ser o comprimento dessa avenida no desenho (em cm)?
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- Real em cm: \(1{,}2\ \text{km} = 120\,000\ \text{cm}\).
- Desenho \(=\dfrac{120\,000}{2\,000}=60\ \text{cm}\).
Resposta: 60 cm.
Exercício 3
Enunciado: Numa planta \(1:50\), uma janela mede 3,2 cm. Qual o tamanho real em metros?
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- Real \(=3{,}2\times 50=160\ \text{cm}=1{,}6\ \text{m}\).
Resposta: 1,6 m.
Exercício 4
Enunciado: Converta a expressão verbal “2 cm representam 500 m” para escala numérica.
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- Converta \(500\ \text{m}\) para cm: \(50\,000\ \text{cm}\).
- \(2\ \text{cm}\) : \(50\,000\ \text{cm}\) → simplifique dividindo por 2: 1:25\,000.
Exercício 5
Enunciado: Um mapa \(1:1\,000\,000\) mostra 7,5 cm entre capitais. Qual a distância real em km?
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- Real \(=7{,}5\times 1\,000\,000=7\,500\,000\ \text{cm}=75\ \text{km}\).
Resposta: 75 km.
Exercício 6
Enunciado: Uma planta em \(1:200\) será reduzida para \(1:500\). Um corredor mede 5 cm no desenho original. Quanto medirá no novo desenho?
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- Real original: \(5\times 200=1\,000\ \text{cm}=10\ \text{m}\).
- Novo desenho: \(\dfrac{10\ \text{m}}{500}=\dfrac{1\,000\ \text{cm}}{500}=2\ \text{cm}\).
Resposta: 2 cm.
Erros comuns (e como evitar)
- Unidades diferentes: sempre padronize (ex.: tudo em cm) antes de usar a escala.
- Confundir redução com ampliação: em \(1:n\) com \(n\) grande, o desenho é menor; em \(n:1\) é ampliação.
- Arredondar cedo: só arredonde no resultado final.
Materiais recomendados
Resumo final (para memorização)
- Definição: \( \text{Escala}=\dfrac{\text{desenho}}{\text{real}} \).
- Fórmulas: real \(=\) desenho × \(n\); desenho \(=\) real ÷ \(n\) (em \(1:n\)).
- Regra de ouro: padronize unidades antes de calcular.
- Tipos: numérica, gráfica e verbal.
