Conteúdo: Função do 1º grau – Estudo do sinal
Questão 41. Estude o sinal de cada função a seguir.
a) \( f(x) = x + 5 \)
b) \( y = -3x + 9 \)
c) \( y = \dfrac{x}{3} – 1 \)
d) \( f(x) = 2 – \dfrac{x}{2} \)
🔍 Ver solução passo a passo
🔎 Entendendo o enunciado:
Devemos identificar em quais intervalos cada função é positiva, negativa ou nula. Isso depende do valor de \( x \) em relação à raiz da função (valor que zera \( f(x) \)).
1) Estudando \( f(x) = x + 5 \):
Igualamos a zero: \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \)
Como o coeficiente de \( x \) é positivo, a função é negativa antes da raiz e positiva depois.
$$ \begin{cases} f(x) < 0 & \text{se } x < -5 \\ f(x) = 0 & \text{se } x = -5 \\ f(x) > 0 & \text{se } x > -5 \end{cases} $$
2) Estudando \( y = -3x + 9 \):
Raiz: \( -3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
O coeficiente de \( x \) é negativo, então o comportamento inverte:
$$ \begin{cases} y > 0 & \text{se } x < 3 \\ y = 0 & \text{se } x = 3 \\ y < 0 & \text{se } x > 3 \end{cases} $$
3) Estudando \( y = \dfrac{x}{3} – 1 \):
Raiz: \( \dfrac{x}{3} – 1 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Coeficiente positivo → sinal cresce com \( x \):
$$ \begin{cases} y < 0 & \text{se } x < 3 \\ y = 0 & \text{se } x = 3 \\ y > 0 & \text{se } x > 3 \end{cases} $$
4) Estudando \( f(x) = 2 – \dfrac{x}{2} \):
Reescrevendo: \( f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2 \). Raiz: \( -\dfrac{1}{2}x + 2 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
Coeficiente negativo → sinal decresce com \( x \):
$$ \begin{cases} f(x) > 0 & \text{se } x < 4 \\ f(x) = 0 & \text{se } x = 4 \\ f(x) < 0 & \text{se } x > 4 \end{cases} $$
✅ Conclusão:
- a) Negativa em \( x < -5 \), positiva em \( x > -5 \)
- b) Positiva em \( x < 3 \), negativa em \( x > 3 \)
- c) Negativa em \( x < 3 \), positiva em \( x > 3 \)
- d) Positiva em \( x < 4 \), negativa em \( x > 4 \)
