Exercício Dízima Periódica — Lista 2
Este é um novo conjunto de questões sobre dízima periódica, com foco em casos mistos (há parte não periódica antes do período), operações e comparações. Revise os fundamentos no artigo-base Dízima Periódica, conecte com Números Racionais e Conjuntos Numéricos.
Método geral para a fração geratriz (dízima mista)
Se \(x=\) parte não periódica de \(n\) algarismos, seguida do período de \(m\) algarismos, então
\[ \begin{aligned} 10^{\,n+m}x – 10^{\,n}x \;=\;&\text{(algarismos sem o ponto)} \;-\; \text{(algarismos até antes do período)} \\[2pt] x \;=\;&\,\dfrac{10^{\,n+m}x-10^{\,n}x}{10^{\,n+m}-10^{\,n}} \end{aligned} \]
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1) Converta em fração: \(0,1\overline{3}\).
\[ \begin{aligned} x&=0,1\overline{3} \\ 100x&=13,\overline{3} \\ 10x&=1,\overline{3} \\ 90x&=12 \\ x&=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15} \end{aligned} \]
Resposta: \(\dfrac{2}{15}\).
2) Converta em fração: \(2,\overline{18}\).
\(2,\overline{18}=2+\dfrac{18}{99}=2+\dfrac{2}{11}=\dfrac{24}{11}\).
3) Converta em fração: \(4,2\overline{35}\).
\[ \begin{aligned} x&=4,2\overline{35} \\ 1000x&=4235,\overline{35} \\ 10x&=42,\overline{35} \\ 990x&=4235-42=4193 \\ x&=\dfrac{4193}{990} \end{aligned} \]
Resposta: \(\dfrac{4193}{990}\) (irredutível).
4) Converta em fração: \(0,07\overline{2}\).
\[ \begin{aligned} x&=0,07\overline{2} \\ 1000x&=72,\overline{2} \\ 100x&=7,\overline{2} \\ 900x&=72-7=65 \\ x&=\dfrac{65}{900}=\dfrac{13}{180} \end{aligned} \]
5) Converta em fração: \(12,\overline{054}\).
\(12,\overline{054}=12+\dfrac{054}{999}=12+\dfrac{54}{999}=12+\dfrac{2}{37}=\dfrac{446}{37}\).
6) Converta em fração: \(1,\overline{09}\).
\(1,\overline{09}=1+\dfrac{9}{99}=1+\dfrac{1}{11}=\dfrac{12}{11}\).
7) Qual é maior: \(0,\overline{36}\) ou \(0,\overline{35}\)?
\(0,\overline{36}=\dfrac{36}{99}\) e \(0,\overline{35}=\dfrac{35}{99}\). Logo \(0,\overline{36}\gt 0,\overline{35}\).
8) Calcule: \(1,\overline{2}+0,\overline{7}\).
\(1,\overline{2}=1+\dfrac{2}{9}=\dfrac{11}{9}\) e \(0,\overline{7}=\dfrac{7}{9}\). Soma \(=\dfrac{18}{9}=2\).
9) Calcule: \(0,\overline{3}\times 0,\overline{6}\).
\(0,\overline{3}=\dfrac{1}{3}\), \(0,\overline{6}=\dfrac{2}{3}\). Produto \(=\dfrac{2}{9}=0,\overline{2}\).
10) Calcule: \(3,\overline{81}-2,\overline{54}\).
\(3+\dfrac{81}{99}-\bigl(2+\dfrac{54}{99}\bigr)=1+\dfrac{27}{99}=1+\dfrac{3}{11}=\dfrac{14}{11}\).
11) Converta em fração: \(0,\overline{123}\).
\(0,\overline{123}=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}\).
12) Converta em fração: \(7,08\overline{3}\).
\[ \begin{aligned} x&=7,08\overline{3} \\ 1000x&=7083,\overline{3} \\ 100x&=708,\overline{3} \\ 900x&=7083-708=6375 \\ x&=\dfrac{6375}{900}=\dfrac{85}{12} \end{aligned} \]
13) Calcule: \(\dfrac{0,\overline{81}}{0,\overline{3}}\).
\(\dfrac{9}{11} \big/ \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{11}\cdot 3=\dfrac{27}{11}=2,\overline{45}\).
14) Calcule: \(\bigl(2,\overline{7}\bigr)^2-5\cdot 0,\overline{6}\).
\[ \begin{aligned} 2,\overline{7}&=\dfrac{25}{9} \\ \bigl(2,\overline{7}\bigr)^2&=\dfrac{625}{81} \\ 5\cdot 0,\overline{6}&=5\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}=\dfrac{270}{81} \\ \therefore\; \text{resultado}&=\dfrac{625-270}{81}=\dfrac{355}{81} \end{aligned} \]
Resposta: \(\dfrac{355}{81}\).
15) Um item custa R$ \(0,\overline{58}\). Qual o valor de 12 unidades?
\(0,\overline{58}=\dfrac{58}{99}\). Total: \(12\times\dfrac{58}{99}=\dfrac{696}{99}=\dfrac{232}{33}\approx 7{,}03\).
Resposta: R$ \(\dfrac{232}{33}\) \(\approx\) R$ 7,03.
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