Derivadas, Retas Tangentes, Limites e Derivação Implícita — Passo a Passo
Nova série de exercícios com soluções detalhadas e linguagem direta. Ideal para revisão de regras de derivação (potência, cadeia e quociente), construção da reta tangente, limites com L’Hôpital, derivação implícita e identificação de pontos críticos.
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1) Calcule as derivadas
- a) \(f(x)=x^{5}\)
- b) \(f(x)=x^{-5}\)
Ver soluções (passo a passo)
a) \(f(x)=x^{5}\)
- Regra da potência: \(\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\).
- Com \(n=5\): \(f'(x)=5x^{4}\).
- Resposta: \(f'(x)=5x^{4}\).
b) \(f(x)=x^{-5}\)
- Mesmo padrão para expoente negativo.
- \(\dfrac{d}{dx}x^{-5}=-5x^{-6}\).
- Sem potência negativa: \(f'(x)=-\dfrac{5}{x^{6}}\) (com \(x\neq0\)).
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2) Encontre a reta tangente a \(f(x)=x^{4}-2x^{3}+3x\) no ponto \(x=1\).
Ver solução (passo a passo)
- Ponto da curva: \(f(1)=1-2+3=2\Rightarrow (1,2)\).
- Derive: \(f'(x)=4x^{3}-6x^{2}+3\).
- Inclinação em \(x=1\): \(m=4-6+3=1\).
- Equação ponto–inclinação: \(y-2=1(x-1)\Rightarrow\) \(\boxed{y=x+1}\).
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3) Calcule a derivada \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}\)
Ver solução (passo a passo)
- Quociente com \(u=\ln x\Rightarrow u’=1/x\) e \(v=x^{2}\Rightarrow v’=2x\).
- Regra: \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^{2}}\).
- Aplique: \(\dfrac{(1/x)x^{2}-(\ln x)2x}{x^{4}}=\dfrac{x-2x\ln x}{x^{4}}\).
- Simplifique por \(x\): \(\boxed{f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}}\) (com \(x>0\)).
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4) Calcule a derivada \(f(x)=\sqrt{5x^{2}+2x}\)
Ver solução (passo a passo)
- Escreva \(f(x)=(5x^{2}+2x)^{1/2}\).
- Cadeia: \(f'(x)=\frac{1}{2}(5x^{2}+2x)^{-1/2}(10x+2)\).
- Coloque em forma de raiz: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{5x+1}{\sqrt{5x^{2}+2x}}}\).
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5) Reta tangente à curva \(y=(x-1)^{5}\) no ponto \((2,1)\).
Ver solução (passo a passo)
- Derive: \(y’=5(x-1)^{4}\).
- Inclinação em \(x=2\): \(m=5(1)^{4}=5\).
- Equação: \(y-1=5(x-2)\Rightarrow\) \(\boxed{y=5x-9}\).
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6) Derive \(f(x)=\ln(\sin x)\)
Ver solução (passo a passo)
- Cadeia com \(u=\sin x\Rightarrow u’=\cos x\).
- \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u’}{u}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).
- Simplifique: \(\boxed{f'(x)=\cot x}\) (definido onde \(\sin x>0\)).
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7) Derivação implícita: \(x^{2}y+2y^{3}=3x+2y\)
Ver solução (passo a passo)
- \(\dfrac{d}{dx}(x^{2}y)=2xy+x^{2}y’\).
- \(\dfrac{d}{dx}(2y^{3})=6y^{2}y’\).
- Direita: \(\dfrac{d}{dx}(3x+2y)=3+2y’\).
- Monte: \(2xy+x^{2}y’+6y^{2}y’=3+2y’\).
- Agrupe \(y’\): \((x^{2}+6y^{2}-2)y’ = 3-2xy\).
- Isole: \(\boxed{y’=\dfrac{3-2xy}{x^{2}+6y^{2}-2}}\).
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8) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{8x}\)
Ver solução (passo a passo)
- Substituição direta: \(0/0\).
- L’Hôpital: \(\dfrac{5e^{5x}}{8}\xrightarrow[x\to0]{}\dfrac{5}{8}\).
- Resposta: \(\boxed{\tfrac{5}{8}}\).
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9) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-x}\)
Ver solução (passo a passo)
- Indeterminação \(0/0\).
- L’Hôpital: \(\dfrac{(1/x)}{2x-1}\big|_{x=1}=1\).
- Resposta: \(\boxed{1}\).
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10) Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)
Ver solução (passo a passo)
- Derive: \(f'(x)=15x^{4}+20x^{3}-30x^{2}\).
- Fatore: \(f'(x)=5x^{2}(3x^{2}+4x-6)\).
- Resolva \(f'(x)=0\): \(x=0\) (raiz dupla) ou \(3x^{2}+4x-6=0\).
- Bhaskara: \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\).
- Críticos: \(x=0,\ \dfrac{-2+\sqrt{22}}{3},\ \dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\).
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