Exercícios de Paralelepípedo — problemas criativos (com gabarito)
Situações-problema reais com volume, área total, área lateral, diagonal e planificação. Soluções em formato vertical.
- Volume (retângulo): \(V=a\cdot b\cdot c\). Geral: \(V=A_{\text{base}}\cdot h\).
- Área total: \(A_t=2(ab+ac+bc)\).
- Área lateral (base \(a\times b\)): \(A_l=2c(a+b)\).
- Diagonal espacial (retângulo): \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Conversões: \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\), \(1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3\).
1) Questões discursivas (criativas) — soluções em abre/fecha
Caixa de doações. Uma caixa de sapatos mede \(8\ \text{cm}\times5\ \text{cm}\times3\ \text{cm}\). Calcule o volume para estimar quantos itens pequenos cabem.
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$$\begin{aligned} V&=8\cdot5\cdot3\\ &=40\cdot3\\ &=\mathbf{120\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Presente bem embrulhado. Uma caixa \(6\ \text{cm}\times4\ \text{cm}\times5\ \text{cm}\) será totalmente embrulhada com papel. Calcule a área total necessária (despreze sobreposições).
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$$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(6\cdot4+6\cdot5+4\cdot5)\\ &=2(24+30+20)\\ &=2\cdot74\\ &=\mathbf{148\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Régua diagonal. Para checar se uma régua de \(13\ \text{cm}\) cabe na caixa \(4\ \text{cm}\times3\ \text{cm}\times12\ \text{cm}\), calcule a diagonal espacial.
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$$\begin{aligned} d&=\sqrt{4^2+3^2+12^2}\\ &=\sqrt{16+9+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=\mathbf{13\ \text{cm}} \end{aligned}$$ Cabe exatamente.Baú de livros. Um baú retangular deve ter \(V=864\ \text{cm}^3\) com base \(12\ \text{cm}\times 6\ \text{cm}\). Calcule a altura \(c\).
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$$\begin{aligned} V&=a\cdot b\cdot c\\ 864&=12\cdot6\cdot c\\ 864&=72\cdot c\\ c&=\dfrac{864}{72}\\ c&=\mathbf{12\ \text{cm}} \end{aligned}$$Aquário da sala. Um aquário retangular \(40\ \text{cm}\times25\ \text{cm}\times30\ \text{cm}\). Calcule o volume em litros para saber a quantidade de água.
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$$\begin{aligned} V&=40\cdot25\cdot30\\ &=1000\cdot30\\ &=30\,000\ \text{cm}^3\\ &=\mathbf{30\ \text{L}} \end{aligned}$$Adesivo nas laterais. Uma caixa com base \(10\ \text{cm}\times6\ \text{cm}\) e altura \(12\ \text{cm}\) receberá adesivo apenas nas quatro faces laterais. Calcule a área lateral.
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$$\begin{aligned} A_l&=2c(a+b)\\ &=2\cdot12\cdot(10+6)\\ &=24\cdot16\\ &=\mathbf{384\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Correios. Uma encomenda \(30\ \text{cm}\times20\ \text{cm}\times50\ \text{cm}\) precisa de papel para ser totalmente coberta. Calcule a área total usando a ideia de planificação.
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$$\begin{aligned} A_t&=2(30\cdot20+30\cdot50+20\cdot50)\\ &=2(600+1500+1000)\\ &=2\cdot3100\\ &=\mathbf{6200\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$Bloco inclinado. Um paralelepípedo oblíquo tem base de área \(72\ \text{cm}^2\) e altura perpendicular \(9\ \text{cm}\). Calcule o volume.
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$$\begin{aligned} V&=A_{\text{base}}\cdot h\\ &=72\cdot9\\ &=\mathbf{648\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$Tanque retangular. Um tanque interno \(1{,}2\ \text{m}\times0{,}8\ \text{m}\times0{,}5\ \text{m}\). Calcule o volume em \( \text{m}^3 \) e em litros.
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$$\begin{aligned} V&=1{,}2\cdot0{,}8\cdot0{,}5\\ &=0{,}96\cdot0{,}5\\ &=0{,}48\ \text{m}^3\\ &=\mathbf{480\ \text{L}} \end{aligned}$$Caixa sem tampa. Uma caixa de madeira \(3\ \text{m}\times2\ \text{m}\times1{,}5\ \text{m}\) será pintada por fora, exceto a tampa (inexistente). Calcule a área externa a ser pintada.
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$$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(3\cdot2+3\cdot1{,}5+2\cdot1{,}5)\\ &=2(6+4{,}5+3)\\ &=27\ \text{m}^2\\[4pt] A_{\text{pintura}}&=A_t-ab\\ &=27-6\\ &=\mathbf{21\ \text{m}^2} \end{aligned}$$Orçamento de adesivo. Uma caixa de feira mede \(0{,}5\ \text{m}\times0{,}4\ \text{m}\times0{,}3\ \text{m}\). O adesivo custa R\$ 35,00 por m² e cobrirá toda a superfície externa. Calcule a área total e o custo.
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$$\begin{aligned} A_t&=2(ab+ac+bc)\\ &=2(0{,}5\cdot0{,}4+0{,}5\cdot0{,}3+0{,}4\cdot0{,}3)\\ &=2(0{,}20+0{,}15+0{,}12)\\ &=2\cdot0{,}47\\ &=\mathbf{0{,}94\ \text{m}^2}\\[6pt] \text{Custo}&=0{,}94\times35\\ &=\mathbf{R\$\,32{,}90} \end{aligned}$$Faixa lateral na planificação. Para confeccionar uma caixa \(0{,}30\ \text{m}\times0{,}20\ \text{m}\times0{,}50\ \text{m}\), usa-se uma faixa lateral única (sem as bases). Calcule a área da faixa necessária.
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$$\begin{aligned} P_{\text{base}}&=2(a+b)=2(0{,}30+0{,}20)=1{,}00\ \text{m}\\ A_{\text{faixa}}&=P_{\text{base}}\cdot c\\ &=1{,}00\cdot0{,}50\\ &=\mathbf{0{,}50\ \text{m}^2} \end{aligned}$$
2) Questões de múltipla escolha (com gabarito)
O volume de um paralelepípedo retângulo é:
- A) \(ab+ac+bc\)
- B) \(2(ab+ac+bc)\)
- C) \(a\cdot b\cdot c\)
- D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
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Gabarito: C.Com base \(9\ \text{cm}\times5\ \text{cm}\) e altura \(12\ \text{cm}\), a área lateral é:
- A) \(168\ \text{cm}^2\)
- B) \(336\ \text{cm}^2\)
- C) \(432\ \text{cm}^2\)
- D) \(540\ \text{cm}^2\)
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\(A_l=2c(a+b)=2\cdot12\cdot14=336\ \text{cm}^2\). Gabarito: B.A diagonal espacial de \(a=6\), \(b=8\), \(c=24\) (em cm) é:
- A) 26
- B) 22
- C) 24
- D) 20
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\(\sqrt{6^2+8^2+24^2}=\sqrt{676}=26\). Gabarito: A.Um paralelepípedo oblíquo tem \(A_{\text{base}}=45\ \text{cm}^2\) e \(h=8\ \text{cm}\). Calcule o volume:
- A) \(53\ \text{cm}^3\)
- B) \(360\ \text{cm}^3\)
- C) \(90\ \text{cm}^3\)
- D) \(180\ \text{cm}^3\)
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\(V=45\cdot8=360\ \text{cm}^3\). Gabarito: B.
3) Perguntas frequentes
| Quando usar \(V=a\cdot b\cdot c\) e quando \(V=A_{\text{base}}\cdot h\)? | No retângulo (arestas perpendiculares), use \(a\cdot b\cdot c\). No oblíquo, use \(A_{\text{base}}\cdot h\) com altura perpendicular. |
|---|---|
| Qual a diferença entre área total e lateral? | Total soma 6 faces; lateral soma só as 4 faces “da volta”. |
| Como converter volume para litros? | \(1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3\) e \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\). |
