Fatorial (n!) — O Que É, Fórmula, Exemplos e Exercícios

O fatorial, representado por n!, é um dos conceitos fundamentais da Análise Combinatória. Ele aparece naturalmente em problemas de contagem, organização e escolha, sendo indispensável em temas como arranjo simples, combinação simples e permutação simples.

O que é fatorial?

O fatorial de um número natural positivo n é o produto de todos os naturais positivos menores ou iguais a n.

\[ n! = n \cdot (n – 1) \cdot (n – 2) \cdots 2 \cdot 1 \]

Por definição:

\[ 1! = 1 \quad \text{e} \quad 0! = 1 \]

Por que o fatorial é tão importante?

O fatorial surge diretamente do Princípio Fundamental da Contagem , quando as escolhas vão diminuindo etapa a etapa.

Ele é base para:

Exemplos rápidos

Exemplo 1: Calcule \(5!\)

\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]

Exemplo 2: \(\dfrac{8!}{6!}\)

\[ \frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot 7 \cdot 6!}{6!}=56 \]

Exercícios (os da imagem) com solução

R1. Efetue os cálculos

a) \(\dfrac{10!}{8!}\)

Ver solução

\[ \frac{10!}{8!} =\frac{10\cdot 9 \cdot 8!}{8!} =10\cdot 9 =90 \]

b) \(\dfrac{5!}{2!+3!}\)

Ver solução

\[ \frac{5!}{2!+3!} =\frac{120}{2+6} =\frac{120}{8} =15 \]

R2. Simplifique a expressão

\(\dfrac{(n+1)!}{(n-2)!}\)

Ver solução

\[ \frac{(n+1)!}{(n-2)!} =\frac{(n+1)\cdot n \cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{(n-2)!} =(n+1)\cdot n \cdot (n-1) \] \[ (n+1)\cdot n \cdot (n-1) =n\big((n+1)(n-1)\big) =n(n^2-1) =n^3-n \]

R3. Resolva a equação

\(\dfrac{(n+2)!}{5\cdot n!}=4\)

Ver solução

\[ \frac{(n+2)!}{5\cdot n!}=4 \Rightarrow \frac{(n+2)(n+1)\,n!}{5\cdot n!}=4 \Rightarrow \frac{(n+2)(n+1)}{5}=4 \] \[ (n+2)(n+1)=20 \Rightarrow n^2+3n+2=20 \Rightarrow n^2+3n-18=0 \] \[ (n+6)(n-3)=0 \Rightarrow n=-6 \;\text{ou}\; n=3 \]

Como \(n\) é natural (fatorial), vale: \(\boxed{n=3}\).

Relação com ENEM e concursos

Questões de fatorial aparecem em contagem de possibilidades, senhas, filas, anagramas e escolhas, normalmente conectadas ao Princípio Fundamental da Contagem e aos tópicos de Análise Combinatória.

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.