Guia prático
Fluxo de Caixa e Data Focal
Como representar entradas/saídas no tempo e como escolher a data focal para equivaler fluxos com juros compostos (e quando usar simples). Conexões com avaliação de investimentos (VPL/TIR), séries de pagamentos, equivalência de taxas, sistemas de amortização e taxa real.
Definição e notação
Um fluxo de caixa é a sequência de entradas (valores positivos) e saídas (valores negativos) ao longo do tempo: \(\{(t_k, F_k)\}\), onde \(t_k\) é o período (mês, ano…) e \(F_k\) é o valor no instante \(t_k\).
Adotando capitalização composta e taxa efetiva \(i\) por período, o valor equivalente do fluxo na data \(t^{*}\) é
\[ V(t^{*}) \;=\; \sum_{k} F_k\, (1+i)^{\,t_k – t^{*}} . \]
Se \(t_k > t^{*}\) elevamos (trazemos para frente); se \(t_k < t^{*}\) dividimos por \((1+i)^{\,t^{*}-t_k}\) (trazemos para trás). Em juros simples, usaríamos \(1 + i\cdot (t_k – t^{*})\) — válido apenas para prazos curtos e convenções específicas.
O que é data focal?
A data focal é o instante no qual comparamos fluxos equivalentes. Pode ser hoje (\(t=0\)), um vencimento, ou qualquer \(t^{*}\) conveniente (por exemplo, o maior vencimento).
Propriedade: se dois fluxos são equivalentes em uma data \(t^{*}\), permanecem equivalentes em qualquer outra data \(s\). Basta transportar todos os valores de \(t^{*}\) para \(s\) pela mesma taxa \(i\).
Para comparar projetos, use VPL (data focal no presente) e, para séries regulares, veja séries de pagamentos.
Passo a passo (com taxa composta)
- Desenhe a linha do tempo com \(t=0,1,2,\dots\) e marque cada \(F_k\) (sinal e data).
- Escolha a data focal \(t^{*}\) (presente, maior vencimento ou ponto de negociação).
- Converta taxas para a periodicidade de \(t\): use equivalência de taxas e considere taxa real se necessário.
- Traga todos os fluxos para \(t^{*}\) com \( (1+i)^{\,t_k-t^{*}} \).
- Some algébricamente e resolva a incógnita (ex.: parcela única \(X\)).
Exemplos passo a passo
- E1. Consolidar recebimentos — Você receberá R$ 1.200 no mês 2 e R$ 800 no mês 5. Se a taxa é \(i=2\%\ a.m.\), qual é o valor único equivalente no mês 8 (data focal \(t^{*}=8\))?
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\(V(8)=1200(1{,}02)^{6}+800(1{,}02)^{3}\approx\boxed{\RS\,2.200{,}36}.\) - E2. Quitar hoje — Despesas de R$ 600 (mês 3), R$ 1.000 (mês 7) e R$ 800 (mês 12). A \(i=1{,}5\%\ a.m.\), qual é o pagamento único hoje equivalente?
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\(PV=600(1{,}015)^{-3}+1000(1{,}015)^{-7}+800(1{,}015)^{-12}\approx\boxed{\RS\,2.143{,}93}.\) - E3. Renegociação — Três pagamentos de R$ 900 nos meses 2, 4 e 6 serão trocados por dois pagamentos iguais nos meses 3 e 5. Com \(i=2\%\ a.m.\) e data focal \(t^{*}=5\), qual é o novo valor de cada parcela?
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\(V_5=900(1{,}02)^3+900(1{,}02)^1+900(1{,}02)^{-1}\approx 2.755{,}44.\)
\(X=V_5/\!\big[(1{,}02)^2+1\big]\approx\boxed{\RS\,1.350{,}44}.\) - E4. Fechar a conta hoje — Recebimento de R$ 1.500 (mês 2) e pagamento de R$ 2.000 (mês 5). A \(i=3\%\ a.m.\), qual é a parcela única hoje que zera o fluxo?
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\(S=1500(1{,}03)^{-2}-2000(1{,}03)^{-5}\approx -311{,}32.\) \(\Rightarrow X=-S=\boxed{\RS\,311{,}32}.\) - E5. Equilíbrio na data focal — Pagamentos de R$ 1.200 nos meses 1 e 3 serão quitados por um único recebimento \(X\) no mês 6. Com \(i=2\%\ a.m.\), ache \(X\) (data focal \(t^{*}=6\)).
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\(-1200(1{,}02)^5-1200(1{,}02)^3+X=0\Rightarrow X=1200\big[(1{,}02)^5+(1{,}02)^3\big]\approx\boxed{\RS\,2.598{,}35}.\) - E6. Carência — Série postecipada de 10 parcelas de R$ 500 começa no mês 4 (carência de 3 períodos). A \(i=1\%\ a.m.\), qual é o valor presente hoje?
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\(PV=500\cdot\dfrac{1-(1{,}01)^{-10}}{0{,}01}\cdot(1{,}01)^{-3}\approx\boxed{\RS\,4.596{,}38}.\) - E7. Mudar vencimentos — Pagamentos de R$ 700 (mês 2) e R$ 900 (mês 5) serão trocados por um pagamento único em \(t=3\). A \(i=1{,}8\%\ a.m.\), quanto pagar em \(t=3\)?
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\(X=700(1{,}018)^{1}+900(1{,}018)^{-2}\approx\boxed{\RS\,1.581{,}05}.\) - E8. Poder de compra — Taxa nominal \(2{,}5\%\ a.m.\) e inflação \(0{,}8\%\ a.m.\). Qual a taxa real mensal e o valor presente real de R$ 1.200 a vencer no mês 10?
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\(i_{\text{real}}=\dfrac{1{,}025}{1{,}008}-1\approx 0{,}016865\Rightarrow 1{,}6865\%\ a.m.\) \(PV_{\text{real}}=1200(1+0{,}016865)^{-10}\approx\boxed{\RS\,1.015{,}19}.\)
Erros comuns (e como evitar)
- Períodos incompatíveis: taxa ao ano aplicada em meses sem converter. Use equivalência de taxas.
- Trocar sinais: entradas \(+\), saídas \(-\). Desenhe a linha do tempo.
- Usar juros simples fora do contexto: para prazos usuais, prefira compostos.
- Somar valores de datas diferentes: traga todos para a mesma data focal antes de somar.
- Ignorar inflação: ao comparar poder de compra, trabalhe com taxa real.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e confira no gabarito. Dicas úteis: séries, equivalência, VPL, amortização.
- 1. \(i=2\%\ a.m.\). Recebimentos de R$ 1.200 (mês 2) e R$ 800 (mês 5). Qual o valor único no mês 8?
- 2. \(i=1{,}5\%\ a.m.\). Pagamentos de R$ 600 (mês 3), R$ 1.000 (mês 7) e R$ 800 (mês 12). Qual o pagamento único hoje?
- 3. \(i=2\%\ a.m.\). Trocar R$ 900 (mês 2,4,6) por dois pagamentos iguais nos meses 3 e 5. Quanto vale cada um?
- 4. \(i=3\%\ a.m.\). Recebe R$ 1.500 (mês 2) e paga R$ 2.000 (mês 5). Qual a parcela única hoje que zera o fluxo?
- 5. \(i=2\%\ a.m.\). Paga R$ 1.200 (mês 1) e R$ 1.200 (mês 3) e recebe \(X\) no mês 6. Calcule \(X\) para equilibrar na data focal 6.
- 6. \(i=1\%\ a.m.\). Série de 10 parcelas de R$ 500 a partir do mês 4 (carência 3). Qual o valor presente?
- 7. \(i=1{,}8\%\ a.m.\). Trocar R$ 700 (mês 2) e R$ 900 (mês 5) por um pagamento único no mês 3. Quanto pagar?
- 8. Nominal \(2{,}5\%\ a.m.\), inflação \(0{,}8\%\ a.m.\). Ache a taxa real mensal e o PV real de R$ 1.200 no mês 10.
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- R$ 2.200,36.
- R$ 2.143,93.
- R$ 1.350,44 (cada).
- R$ 311,32 (pagamento hoje).
- R$ 2.598,35.
- R$ 4.596,38.
- R$ 1.581,05.
- \(i_{\text{real}}\approx 1{,}6865\%\ a.m.\); \(PV_{\text{real}}\approx \) R$ 1.015,19.
Arredondamento financeiro com 2 casas decimais. Para comparar projetos, ver VPL/TIR.
