Função Afim: Definição, Propriedades, Gráficos e Exercícios Resolvidos
A função afim, também conhecida como função do 1º grau, é uma das mais importantes da matemática. Ela aparece com frequência em provas de ENEM, vestibulares e concursos públicos, além de estar presente em situações cotidianas, como tarifas de serviços e cálculos de custos.
Definição da Função Afim
A forma geral da função afim é:
Onde:
- a: coeficiente angular (indica a inclinação da reta).
- b: coeficiente linear (indica o ponto de interseção com o eixo y).
- x: variável independente.
Propriedades da Função Afim
- Se \( a > 0 \), a função é crescente.
- Se \( a < 0 \), a função é decrescente.
- Se \( a = 0 \), temos uma função constante.
Gráfico da Função Afim
O gráfico da função afim é sempre uma reta. Para construí-lo, basta encontrar dois pontos e traçar a linha que os une.
- O coeficiente a indica a inclinação (se sobe ou desce).
- O coeficiente b indica o ponto em que a reta corta o eixo y.
Zeros da Função Afim
O zero da função (ou raiz) é encontrado resolvendo:
Esse valor indica o ponto onde a reta cruza o eixo x.
Aplicações da Função Afim
- Transporte: tarifas de táxi ou Uber (taxa fixa + valor por km).
- Serviços: estacionamento (valor inicial + custo por tempo).
- Indústrias: custo de produção (fixo + variável).
- Telefonia: assinatura mensal + valor por minuto.
Exemplo Resolvido
Uma corrida de táxi custa R$ 10,00 de bandeirada mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. Escreva a função e calcule o valor de uma corrida de 15 km.
Ver solução
Função: \( f(x) = 2,50x + 10 \)
\( f(15) = 2,50 \cdot 15 + 10 \)
\( f(15) = 37,5 + 10 \)
\( f(15) = 47,5 \)
Resposta: R$ 47,50.
Exercícios Propostos
Questão 1: Uma empresa cobra R$ 50,00 fixos mais R$ 3,00 por unidade produzida. Escreva a função que representa o custo e calcule o valor para 20 unidades.
Questão 2: O valor de uma ligação telefônica é dado por \( f(x) = 0,40x + 2 \), onde x é o tempo em minutos. Qual será o valor de uma ligação de 25 minutos?
Questão 3: Determine o zero da função \( f(x) = -2x + 6 \).
Exercícios Resolvidos
Questão 1: O custo para alugar uma bicicleta é dado por \( f(x) = 5x + 8 \), onde x é o tempo em horas. Qual será o custo de 4 horas de uso?
Ver solução
\( f(4) = 5 \cdot 4 + 8 \)
\( f(4) = 20 + 8 \)
\( f(4) = 28 \)
Resposta: R$ 28,00.
Questão 2: Encontre a raiz da função \( f(x) = 4x – 12 \).
Ver solução
\( f(x) = 4x – 12 = 0 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
Resposta: O zero da função é \( x = 3 \).
Comparação com Outras Funções
- A função afim gera reta, enquanto a função quadrática gera parábola.
- A função constante é um caso particular da função afim, onde \( a = 0 \).
Curiosidades e História
O estudo das funções lineares remonta ao desenvolvimento da Geometria Analítica por René Descartes no século XVII, que permitiu representar equações em gráficos, facilitando a visualização das relações matemáticas.
Conclusão
A função afim é um dos pilares da matemática escolar, servindo de base para o entendimento de funções mais complexas, como a função quadrática e as funções exponenciais. Seu estudo é essencial para provas de concursos e exames nacionais.
