Função Quadrática: como b e c mexem no gráfico?
Na forma \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), já vimos que \(a\) controla a concavidade e a abertura. Mas quem posiciona horizontal e verticalmente a parábola são os coeficientes \(b\) e \(c\). Abaixo estão as ideias-chave e exemplos rápidos.
1) Resumo visual do papel de b e c
Coeficiente b — deslocamento horizontal
- Define a posição do eixo de simetria: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\).
- Com \(a\) e \(c\) fixos, trocar \(b\to -b\) produz um espelhamento no eixo \(y\): \(a x^2 + b x + c \mapsto a x^2 – b x + c = f(-x)\).
- Influencia os zeros e o vértice (pois entra em \(\Delta=b^2-4ac\) e em \(x_v\)).
Coeficiente c — translação vertical
- É sempre o intercepto em \(y\): \(f(0)=c\Rightarrow (0,c)\).
- Com \(a\) e \(b\) fixos, variar \(c\) move a parábola para cima/baixo sem mudar o eixo \(x=x_v\).
- Também altera \(\Delta=b^2-4ac\) e pode criar/eliminar raízes reais.
Ligação com a forma canônica
Completando quadrado: \[ ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^2+\Bigl(c-\frac{b^2}{4a}\Bigr). \] O vértice é \( \bigl(-\tfrac{b}{2a},\, c-\tfrac{b^2}{4a}\bigr)\).
2) Exemplos resolvidos (contas uma embaixo da outra)
Exemplo A — Espelhamento ao trocar o sinal de b
Compare \(f(x)=x^2+3x-4\) e \(g(x)=x^2-3x-4\). Mostre que os gráficos são simétricos em relação ao eixo \(y\) e calcule os notáveis.
Note que os pares de raízes \(\{-4,1\}\) e \(\{-1,4\}\) são imagens por reflexão em \(x=0\), e os eixos \(x=\pm 1{,}5\) também.
Exemplo B — Variar apenas c desloca o gráfico para cima/baixo
Compare \(p(x)=x^2+3x-4\) (de cima) com \(q(x)=x^2+3x+2\) (mesmos \(a\) e \(b\), mas \(c\) diferente).
Mudou apenas \(c\) e toda a parábola subiu \(6\) unidades (de \(-4\) para \(2\)), preservando o mesmo eixo \(x=-1{,}5\).
Exemplo C — Encontre \(b\) e \(c\) por condições
Suponha \(f(x)=x^2+bx+c\) passa por \((0,-4)\) e tem vértice em \(x=1{,}5\). Determine \(b\) e \(c\).
3) Erros comuns (e como evitar)
- Confundir \(c\) com a ordenada do vértice. Não! \(c=f(0)\); a ordenada do vértice é \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
- Achar que \(b\) “anda o gráfico” para a direita/esquerda como em \(y=(x-h)^2\). O que \(b\) faz é definir o eixo \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\); o deslocamento horizontal fica explícito na forma canônica \(y=a(x-h)^2+k\).
- Trocar \(b\) por \(-b\) não translada: reflete o gráfico no eixo \(y\) quando \(a\) e \(c\) são mantidos.
4) Exercícios propostos
1) Para \(f(x)=2x^2-6x+c\), determine \(c\) para que o intercepto em \(y\) seja \(4\) e encontre o vértice.
Gabarito
2) Mostre que \(f(x)=x^2+bx-4\) e \(g(x)=x^2-bx-4\) são simétricas em relação ao eixo \(y\).
Gabarito
Basta notar que \(g(x)=f(-x)\): \(f(-x)=(-x)^2+b(-x)-4=x^2-bx-4=g(x)\). Assim, os gráficos são espelhos em \(x=0\).
3) Em \(h(x)=x^2+3x+c\), qual \(c\) faz com que a parábola toque o eixo \(x\) (raiz dupla)?
